MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrlelttrd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrlelttrd 12184
Description: Transitive law for ordering on extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xrlttrd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
xrlttrd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
xrlttrd.3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
xrlelttrd.4 (𝜑𝐴𝐵)
xrlelttrd.5 (𝜑𝐵 < 𝐶)
Assertion
Ref Expression
xrlelttrd (𝜑𝐴 < 𝐶)

Proof of Theorem xrlelttrd
StepHypRef Expression
1 xrlelttrd.4 . 2 (𝜑𝐴𝐵)
2 xrlelttrd.5 . 2 (𝜑𝐵 < 𝐶)
3 xrlttrd.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
4 xrlttrd.2 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
5 xrlttrd.3 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
6 xrlelttr 12180 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
73, 4, 5, 6syl3anc 1477 . 2 (𝜑 → ((𝐴𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
81, 2, 7mp2and 717 1 (𝜑𝐴 < 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  wcel 2139   class class class wbr 4804  *cxr 10265   < clt 10266  cle 10267
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-po 5187  df-so 5188  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272
This theorem is referenced by:  xlt2add  12283  ixxub  12389  elioc2  12429  elicc2  12431  limsupgre  14411  xrsdsreclblem  19994  mnfnei  21227  blgt0  22405  xblss2ps  22407  xblss2  22408  metustexhalf  22562  tgioo  22800  blcvx  22802  xrge0tsms  22838  metdcnlem  22840  metdscnlem  22859  ioombl  23533  uniioombllem1  23549  dvferm2lem  23948  dvlip2  23957  ftc1a  23999  coe1mul3  24058  ply1remlem  24121  pserulm  24375  isblo3i  27965  xrge0infss  29834  iocinioc2  29850  xrge0tsmsd  30094  sibfinima  30710  heicant  33757  itg2gt0cn  33778  ftc1anclem7  33804  ftc1anc  33806  idomrootle  38275  supxrgelem  40051  supxrge  40052  xralrple2  40068  infxr  40081  infleinflem2  40085  xrralrecnnle  40100  unb2ltle  40140  eliocre  40237  iocopn  40249  ge0lere  40262  iccdificc  40269  limsupre  40376  limsuppnflem  40445  limsupre3lem  40467  xlimmnfv  40563  fourierdlem27  40854  sge0isum  41147  meassre  41197  meaiuninclem  41200  omessre  41230  omeiunltfirp  41239  sge0hsphoire  41309  hoidmv1lelem1  41311  hoidmv1lelem2  41312  hoidmv1lelem3  41313  hoidmvlelem1  41315  hoidmvlelem4  41318  pimiooltgt  41427  pimincfltioc  41432  preimaleiinlt  41437
  Copyright terms: Public domain W3C validator