MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrleloe Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrleloe 12182
Description: 'Less than or equal' expressed in terms of 'less than' or 'equals', for extended reals. (Contributed by NM, 19-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
xrleloe ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵)))

Proof of Theorem xrleloe
StepHypRef Expression
1 xrlenlt 10309 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
2 eqcom 2778 . . . . 5 (𝐵 = 𝐴𝐴 = 𝐵)
32orbi1i 899 . . . 4 ((𝐵 = 𝐴𝐴 < 𝐵) ↔ (𝐴 = 𝐵𝐴 < 𝐵))
4 orcom 859 . . . 4 ((𝐴 = 𝐵𝐴 < 𝐵) ↔ (𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵))
53, 4bitri 264 . . 3 ((𝐵 = 𝐴𝐴 < 𝐵) ↔ (𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵))
6 xrlttri 12177 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐵 < 𝐴 ↔ ¬ (𝐵 = 𝐴𝐴 < 𝐵)))
76ancoms 446 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐵 < 𝐴 ↔ ¬ (𝐵 = 𝐴𝐴 < 𝐵)))
87con2bid 343 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐵 = 𝐴𝐴 < 𝐵) ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
95, 8syl5rbbr 275 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (¬ 𝐵 < 𝐴 ↔ (𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵)))
101, 9bitrd 268 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382  wo 836   = wceq 1631  wcel 2145   class class class wbr 4787  *cxr 10279   < clt 10280  cle 10281
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4576  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-id 5158  df-po 5171  df-so 5172  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286
This theorem is referenced by:  xrleltne  12183  dfle2  12185  xrltle  12187  xrleid  12188  xrlelttr  12192  xrltletr  12193  xrletr  12194  nltpnft  12200  ngtmnft  12202  xmulge0  12319  xlemul1a  12323  xadddi2  12332  prunioo  12508  xrsxmet  22832  metds0  22873  metdseq0  22877  metnrmlem1a  22881  icombl  23552  ioombl  23553  volivth  23595  vitalilem4  23599  itg2gt0  23747  deg1sublt  24090  xrge0addgt0  30031  xrge0adddir  30032  icorempt2  33536  icceuelpartlem  41896
  Copyright terms: Public domain W3C validator