MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrleid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrleid 12021
Description: 'Less than or equal to' is reflexive for extended reals. (Contributed by NM, 7-Feb-2007.)
Assertion
Ref Expression
xrleid (𝐴 ∈ ℝ*𝐴𝐴)

Proof of Theorem xrleid
StepHypRef Expression
1 eqid 2651 . . . 4 𝐴 = 𝐴
21olci 405 . . 3 (𝐴 < 𝐴𝐴 = 𝐴)
3 xrleloe 12015 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐴𝐴 ↔ (𝐴 < 𝐴𝐴 = 𝐴)))
42, 3mpbiri 248 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → 𝐴𝐴)
54anidms 678 1 (𝐴 ∈ ℝ*𝐴𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 382  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030   class class class wbr 4685  *cxr 10111   < clt 10112  cle 10113
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118
This theorem is referenced by:  xrmax1  12044  xrmax2  12045  xrmin1  12046  xrmin2  12047  xleadd1a  12121  xlemul1a  12156  supxrre  12195  infxrre  12204  iooid  12241  iccid  12258  icc0  12261  ubioc1  12265  lbico1  12266  lbicc2  12326  ubicc2  12327  snunioo  12336  snunico  12337  snunioc  12338  limsupgord  14247  limsupgre  14256  limsupbnd1  14257  limsupbnd2  14258  pcdvdstr  15627  pcadd  15640  ledm  17271  lern  17272  letsr  17274  imasdsf1olem  22225  blssps  22276  blss  22277  blcld  22357  nmolb  22568  xrsxmet  22659  metds0  22700  metdstri  22701  metdseq0  22704  ismbfd  23452  itg2eqa  23557  mdeglt  23870  deg1lt  23902  xraddge02  29649  eliccelico  29667  elicoelioo  29668  difioo  29672  xrstos  29807  xrge0omnd  29839  esumpmono  30269  signsply0  30756  elicc3  32436  ioounsn  38112  iocinico  38114  xreqle  39847  xadd0ge  39849  xrleidd  39923  infxrpnf  39987  snunioo2  40049  snunioo1  40056  limcresiooub  40192  ismbl4  40528  sge0prle  40936  iunhoiioo  41211  iccpartleu  41689  iccpartgel  41690
  Copyright terms: Public domain W3C validator