MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrinfmsslem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrinfmsslem 12351
Description: Lemma for xrinfmss 12353. (Contributed by NM, 19-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
xrinfmsslem ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∨ -∞ ∈ 𝐴)) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴

Proof of Theorem xrinfmsslem
StepHypRef Expression
1 raleq 3277 . . . . . 6 (𝐴 = ∅ → (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ ∅ ¬ 𝑦 < 𝑥))
2 rexeq 3278 . . . . . . . 8 (𝐴 = ∅ → (∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦 ↔ ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑧 < 𝑦))
32imbi2d 329 . . . . . . 7 (𝐴 = ∅ → ((𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦) ↔ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑧 < 𝑦)))
43ralbidv 3124 . . . . . 6 (𝐴 = ∅ → (∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑧 < 𝑦)))
51, 4anbi12d 749 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → ((∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)) ↔ (∀𝑦 ∈ ∅ ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑧 < 𝑦))))
65rexbidv 3190 . . . 4 (𝐴 = ∅ → (∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ ∅ ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑧 < 𝑦))))
7 infm3 11194 . . . . . . . 8 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))
8 rexr 10297 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
98anim1i 593 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦))) → (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦))))
109reximi2 3148 . . . . . . . 8 (∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))
117, 10syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))
12 elxr 12163 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℝ* ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∨ 𝑦 = +∞ ∨ 𝑦 = -∞))
13 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦))) → (𝑦 ∈ ℝ → (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))
14 ssel 3738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑧𝐴𝑧 ∈ ℝ))
15 ltpnf 12167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑧 ∈ ℝ → 𝑧 < +∞)
1614, 15syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑧𝐴𝑧 < +∞))
1716ancld 577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑧𝐴 → (𝑧𝐴𝑧 < +∞)))
1817eximdv 1995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑧 𝑧𝐴 → ∃𝑧(𝑧𝐴𝑧 < +∞)))
19 n0 4074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧𝐴)
20 df-rex 3056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (∃𝑧𝐴 𝑧 < +∞ ↔ ∃𝑧(𝑧𝐴𝑧 < +∞))
2118, 19, 203imtr4g 285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝐴 ≠ ∅ → ∃𝑧𝐴 𝑧 < +∞))
2221imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑧𝐴 𝑧 < +∞)
2322a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑥 < +∞ → ∃𝑧𝐴 𝑧 < +∞))
2423ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 = +∞) → (𝑥 < +∞ → ∃𝑧𝐴 𝑧 < +∞))
25 breq2 4808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = +∞ → (𝑥 < 𝑦𝑥 < +∞))
26 breq2 4808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = +∞ → (𝑧 < 𝑦𝑧 < +∞))
2726rexbidv 3190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = +∞ → (∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦 ↔ ∃𝑧𝐴 𝑧 < +∞))
2825, 27imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = +∞ → ((𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦) ↔ (𝑥 < +∞ → ∃𝑧𝐴 𝑧 < +∞)))
2928adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 = +∞) → ((𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦) ↔ (𝑥 < +∞ → ∃𝑧𝐴 𝑧 < +∞)))
3024, 29mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 = +∞) → (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦))
3130ex 449 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (𝑦 = +∞ → (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))
3231adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦))) → (𝑦 = +∞ → (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))
33 nltmnf 12176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ℝ* → ¬ 𝑥 < -∞)
3433adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 = -∞) → ¬ 𝑥 < -∞)
35 breq2 4808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = -∞ → (𝑥 < 𝑦𝑥 < -∞))
3635notbid 307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = -∞ → (¬ 𝑥 < 𝑦 ↔ ¬ 𝑥 < -∞))
3736adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 = -∞) → (¬ 𝑥 < 𝑦 ↔ ¬ 𝑥 < -∞))
3834, 37mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 = -∞) → ¬ 𝑥 < 𝑦)
3938pm2.21d 118 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 = -∞) → (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦))
4039ex 449 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑦 = -∞ → (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))
4140ad2antlr 765 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦))) → (𝑦 = -∞ → (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))
4213, 32, 413jaod 1541 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦))) → ((𝑦 ∈ ℝ ∨ 𝑦 = +∞ ∨ 𝑦 = -∞) → (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))
4312, 42syl5bi 232 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦))) → (𝑦 ∈ ℝ* → (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))
4443ex 449 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → ((𝑦 ∈ ℝ → (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)) → (𝑦 ∈ ℝ* → (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦))))
4544ralimdv2 3099 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦) → ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))
4645anim2d 590 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → ((∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)) → (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦))))
4746reximdva 3155 . . . . . . . 8 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦))))
48473adant3 1127 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → (∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦))))
4911, 48mpd 15 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))
50493expa 1112 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))
51 ralnex 3130 . . . . . . . . 9 (∀𝑥 ∈ ℝ ¬ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦)
52 rexnal 3133 . . . . . . . . . . . 12 (∃𝑦𝐴 ¬ 𝑥𝑦 ↔ ¬ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦)
53 ssel2 3739 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
54 letric 10349 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥𝑦𝑦𝑥))
5554ancoms 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥𝑦𝑦𝑥))
5655ord 391 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (¬ 𝑥𝑦𝑦𝑥))
5753, 56sylan 489 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (¬ 𝑥𝑦𝑦𝑥))
5857an32s 881 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → (¬ 𝑥𝑦𝑦𝑥))
5958reximdva 3155 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑦𝐴 ¬ 𝑥𝑦 → ∃𝑦𝐴 𝑦𝑥))
6052, 59syl5bir 233 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (¬ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦 → ∃𝑦𝐴 𝑦𝑥))
6160ralimdva 3100 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ⊆ ℝ → (∀𝑥 ∈ ℝ ¬ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦𝑥))
6261imp 444 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ¬ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦𝑥)
6351, 62sylan2br 494 . . . . . . . 8 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦𝑥)
64 breq1 4807 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑧 → (𝑦𝑥𝑧𝑥))
6564cbvrexv 3311 . . . . . . . . 9 (∃𝑦𝐴 𝑦𝑥 ↔ ∃𝑧𝐴 𝑧𝑥)
6665ralbii 3118 . . . . . . . 8 (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑦𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑧𝑥)
6763, 66sylib 208 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑧𝑥)
68 mnfxr 10308 . . . . . . . 8 -∞ ∈ ℝ*
69 ssel 3738 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑦𝐴𝑦 ∈ ℝ))
70 rexr 10297 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℝ*)
71 nltmnf 12176 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℝ* → ¬ 𝑦 < -∞)
7270, 71syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℝ → ¬ 𝑦 < -∞)
7369, 72syl6 35 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑦𝐴 → ¬ 𝑦 < -∞))
7473ralrimiv 3103 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ⊆ ℝ → ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < -∞)
7574adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑧𝑥) → ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < -∞)
76 peano2rem 10560 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 − 1) ∈ ℝ)
77 breq2 4808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = (𝑦 − 1) → (𝑧𝑥𝑧 ≤ (𝑦 − 1)))
7877rexbidv 3190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = (𝑦 − 1) → (∃𝑧𝐴 𝑧𝑥 ↔ ∃𝑧𝐴 𝑧 ≤ (𝑦 − 1)))
7978rspcva 3447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑦 − 1) ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑧𝑥) → ∃𝑧𝐴 𝑧 ≤ (𝑦 − 1))
8079adantrr 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑦 − 1) ∈ ℝ ∧ (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑧𝑥𝐴 ⊆ ℝ)) → ∃𝑧𝐴 𝑧 ≤ (𝑦 − 1))
8180ancoms 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑧𝑥𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑦 − 1) ∈ ℝ) → ∃𝑧𝐴 𝑧 ≤ (𝑦 − 1))
8276, 81sylan2 492 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑧𝑥𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∃𝑧𝐴 𝑧 ≤ (𝑦 − 1))
83 ssel2 3739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑧𝐴) → 𝑧 ∈ ℝ)
84 ltm1 11075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 − 1) < 𝑦)
8584adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 − 1) < 𝑦)
8676ancri 576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 ∈ ℝ → ((𝑦 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ))
87 lelttr 10340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑦 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑧 ≤ (𝑦 − 1) ∧ (𝑦 − 1) < 𝑦) → 𝑧 < 𝑦))
88873expb 1114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝑦 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((𝑧 ≤ (𝑦 − 1) ∧ (𝑦 − 1) < 𝑦) → 𝑧 < 𝑦))
8986, 88sylan2 492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑧 ≤ (𝑦 − 1) ∧ (𝑦 − 1) < 𝑦) → 𝑧 < 𝑦))
9085, 89mpan2d 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑧 ≤ (𝑦 − 1) → 𝑧 < 𝑦))
9183, 90sylan 489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑧𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑧 ≤ (𝑦 − 1) → 𝑧 < 𝑦))
9291an32s 881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑧 ≤ (𝑦 − 1) → 𝑧 < 𝑦))
9392reximdva 3155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∃𝑧𝐴 𝑧 ≤ (𝑦 − 1) → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦))
9493adantll 752 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑧𝑥𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∃𝑧𝐴 𝑧 ≤ (𝑦 − 1) → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦))
9582, 94mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑧𝑥𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)
9695exp31 631 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑧𝑥 → (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑦 ∈ ℝ → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))
9796a1dd 50 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑧𝑥 → (𝐴 ⊆ ℝ → (-∞ < 𝑦 → (𝑦 ∈ ℝ → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦))))
9897com4r 94 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℝ → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑧𝑥 → (𝐴 ⊆ ℝ → (-∞ < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦))))
99 0re 10252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 ∈ ℝ
100 breq2 4808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = 0 → (𝑧𝑥𝑧 ≤ 0))
101100rexbidv 3190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 0 → (∃𝑧𝐴 𝑧𝑥 ↔ ∃𝑧𝐴 𝑧 ≤ 0))
102101rspcva 3447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((0 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑧𝑥) → ∃𝑧𝐴 𝑧 ≤ 0)
10399, 102mpan 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑧𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑧 ≤ 0)
10483, 15syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑧𝐴) → 𝑧 < +∞)
105104a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑧𝐴) → (𝑧 ≤ 0 → 𝑧 < +∞))
106105reximdva 3155 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑧𝐴 𝑧 ≤ 0 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < +∞))
107103, 106mpan9 487 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑧𝑥𝐴 ⊆ ℝ) → ∃𝑧𝐴 𝑧 < +∞)
108107, 27syl5ibr 236 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = +∞ → ((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑧𝑥𝐴 ⊆ ℝ) → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦))
109108a1dd 50 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = +∞ → ((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑧𝑥𝐴 ⊆ ℝ) → (-∞ < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))
110109expd 451 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = +∞ → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑧𝑥 → (𝐴 ⊆ ℝ → (-∞ < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦))))
111 xrltnr 12166 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (-∞ ∈ ℝ* → ¬ -∞ < -∞)
11268, 111ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ¬ -∞ < -∞
113 breq2 4808 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = -∞ → (-∞ < 𝑦 ↔ -∞ < -∞))
114112, 113mtbiri 316 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = -∞ → ¬ -∞ < 𝑦)
115114pm2.21d 118 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = -∞ → (-∞ < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦))
1161152a1d 26 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = -∞ → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑧𝑥 → (𝐴 ⊆ ℝ → (-∞ < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦))))
11798, 110, 1163jaoi 1540 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℝ ∨ 𝑦 = +∞ ∨ 𝑦 = -∞) → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑧𝑥 → (𝐴 ⊆ ℝ → (-∞ < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦))))
11812, 117sylbi 207 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑧𝑥 → (𝐴 ⊆ ℝ → (-∞ < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦))))
119118com13 88 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ⊆ ℝ → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑧𝑥 → (𝑦 ∈ ℝ* → (-∞ < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦))))
120119imp 444 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑧𝑥) → (𝑦 ∈ ℝ* → (-∞ < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))
121120ralrimiv 3103 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑧𝑥) → ∀𝑦 ∈ ℝ* (-∞ < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦))
12275, 121jca 555 . . . . . . . 8 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑧𝑥) → (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < -∞ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (-∞ < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))
123 breq2 4808 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = -∞ → (𝑦 < 𝑥𝑦 < -∞))
124123notbid 307 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = -∞ → (¬ 𝑦 < 𝑥 ↔ ¬ 𝑦 < -∞))
125124ralbidv 3124 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = -∞ → (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ↔ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < -∞))
126 breq1 4807 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = -∞ → (𝑥 < 𝑦 ↔ -∞ < 𝑦))
127126imbi1d 330 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = -∞ → ((𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦) ↔ (-∞ < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))
128127ralbidv 3124 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = -∞ → (∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ* (-∞ < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))
129125, 128anbi12d 749 . . . . . . . . 9 (𝑥 = -∞ → ((∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)) ↔ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < -∞ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (-∞ < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦))))
130129rspcev 3449 . . . . . . . 8 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < -∞ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (-∞ < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦))) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))
13168, 122, 130sylancr 698 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑧𝑥) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))
13267, 131syldan 488 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))
133132adantlr 753 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))
13450, 133pm2.61dan 867 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))
135 pnfxr 10304 . . . . . 6 +∞ ∈ ℝ*
136 ral0 4220 . . . . . . 7 𝑦 ∈ ∅ ¬ 𝑦 < +∞
137 pnfnlt 12175 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ* → ¬ +∞ < 𝑦)
138137pm2.21d 118 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ* → (+∞ < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑧 < 𝑦))
139138rgen 3060 . . . . . . 7 𝑦 ∈ ℝ* (+∞ < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑧 < 𝑦)
140136, 139pm3.2i 470 . . . . . 6 (∀𝑦 ∈ ∅ ¬ 𝑦 < +∞ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (+∞ < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑧 < 𝑦))
141 breq2 4808 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = +∞ → (𝑦 < 𝑥𝑦 < +∞))
142141notbid 307 . . . . . . . . 9 (𝑥 = +∞ → (¬ 𝑦 < 𝑥 ↔ ¬ 𝑦 < +∞))
143142ralbidv 3124 . . . . . . . 8 (𝑥 = +∞ → (∀𝑦 ∈ ∅ ¬ 𝑦 < 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ ∅ ¬ 𝑦 < +∞))
144 breq1 4807 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = +∞ → (𝑥 < 𝑦 ↔ +∞ < 𝑦))
145144imbi1d 330 . . . . . . . . 9 (𝑥 = +∞ → ((𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑧 < 𝑦) ↔ (+∞ < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑧 < 𝑦)))
146145ralbidv 3124 . . . . . . . 8 (𝑥 = +∞ → (∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑧 < 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ* (+∞ < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑧 < 𝑦)))
147143, 146anbi12d 749 . . . . . . 7 (𝑥 = +∞ → ((∀𝑦 ∈ ∅ ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑧 < 𝑦)) ↔ (∀𝑦 ∈ ∅ ¬ 𝑦 < +∞ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (+∞ < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑧 < 𝑦))))
148147rspcev 3449 . . . . . 6 ((+∞ ∈ ℝ* ∧ (∀𝑦 ∈ ∅ ¬ 𝑦 < +∞ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (+∞ < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑧 < 𝑦))) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ ∅ ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑧 < 𝑦)))
149135, 140, 148mp2an 710 . . . . 5 𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ ∅ ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑧 < 𝑦))
150149a1i 11 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ ∅ ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑧 < 𝑦)))
1516, 134, 150pm2.61ne 3017 . . 3 (𝐴 ⊆ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))
152151adantl 473 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐴 ⊆ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))
153 ssel 3738 . . . . . 6 (𝐴 ⊆ ℝ* → (𝑦𝐴𝑦 ∈ ℝ*))
154153, 71syl6 35 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ℝ* → (𝑦𝐴 → ¬ 𝑦 < -∞))
155154ralrimiv 3103 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℝ* → ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < -∞)
156 breq1 4807 . . . . . . 7 (𝑧 = -∞ → (𝑧 < 𝑦 ↔ -∞ < 𝑦))
157156rspcev 3449 . . . . . 6 ((-∞ ∈ 𝐴 ∧ -∞ < 𝑦) → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)
158157ex 449 . . . . 5 (-∞ ∈ 𝐴 → (-∞ < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦))
159158ralrimivw 3105 . . . 4 (-∞ ∈ 𝐴 → ∀𝑦 ∈ ℝ* (-∞ < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦))
160155, 159anim12i 591 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ -∞ ∈ 𝐴) → (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < -∞ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (-∞ < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))
16168, 160, 130sylancr 698 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ -∞ ∈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))
162152, 161jaodan 861 1 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∨ -∞ ∈ 𝐴)) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383  w3o 1071  w3a 1072   = wceq 1632  wex 1853  wcel 2139  wne 2932  wral 3050  wrex 3051  wss 3715  c0 4058   class class class wbr 4804  (class class class)co 6814  cr 10147  0cc0 10148  1c1 10149  +∞cpnf 10283  -∞cmnf 10284  *cxr 10285   < clt 10286  cle 10287  cmin 10478
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-po 5187  df-so 5188  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481
This theorem is referenced by:  xrinfmss  12353
  Copyright terms: Public domain W3C validator