MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrinf0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrinf0 12381
Description: The infimum of the empty set under the extended reals is positive infinity. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2015.) (Revised by AV, 5-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
xrinf0 inf(∅, ℝ*, < ) = +∞

Proof of Theorem xrinf0
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrltso 12187 . . . 4 < Or ℝ*
21a1i 11 . . 3 (⊤ → < Or ℝ*)
3 pnfxr 10304 . . . 4 +∞ ∈ ℝ*
43a1i 11 . . 3 (⊤ → +∞ ∈ ℝ*)
5 noel 4062 . . . . 5 ¬ 𝑦 ∈ ∅
65pm2.21i 116 . . . 4 (𝑦 ∈ ∅ → ¬ 𝑦 < +∞)
76adantl 473 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ∅) → ¬ 𝑦 < +∞)
8 pnfnlt 12175 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℝ* → ¬ +∞ < 𝑦)
98pm2.21d 118 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℝ* → (+∞ < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑧 < 𝑦))
109imp 444 . . . 4 ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ +∞ < 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑧 < 𝑦)
1110adantl 473 . . 3 ((⊤ ∧ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ +∞ < 𝑦)) → ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑧 < 𝑦)
122, 4, 7, 11eqinfd 8558 . 2 (⊤ → inf(∅, ℝ*, < ) = +∞)
1312trud 1642 1 inf(∅, ℝ*, < ) = +∞
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 383   = wceq 1632  wtru 1633  wcel 2139  wrex 3051  c0 4058   class class class wbr 4804   Or wor 5186  infcinf 8514  +∞cpnf 10283  *cxr 10285   < clt 10286
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-po 5187  df-so 5188  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-sup 8515  df-inf 8516  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291
This theorem is referenced by:  ramcl2lem  15935  infleinf  40104  infxrpnf  40190  supxrltinfxr  40193  supminfxr  40210
  Copyright terms: Public domain W3C validator