Theorem xrinf0 12126

Description: The infimum of the empty set under the extended reals is positive infinity. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2015.) (Revised by AV, 5-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
xrinf0	⊢ inf(∅, ℝ*, < ) = +∞

Proof of Theorem xrinf0

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrltso 11934	. . . 4 ⊢ < Or ℝ*
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → < Or ℝ*)
3		pnfxr 10052	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → +∞ ∈ ℝ*)
5		noel 3901	. . . . 5 ⊢ ¬ 𝑦 ∈ ∅
6	5	pm2.21i 116	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ∅ → ¬ 𝑦 < +∞)
7	6	adantl 482	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ∅) → ¬ 𝑦 < +∞)
8		pnfnlt 11922	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ* → ¬ +∞ < 𝑦)
9	8	pm2.21d 118	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ* → (+∞ < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑧 < 𝑦))
10	9	imp 445	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ +∞ < 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑧 < 𝑦)
11	10	adantl 482	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ +∞ < 𝑦)) → ∃𝑧 ∈ ∅ 𝑧 < 𝑦)
12	2, 4, 7, 11	eqinfd 8351	. 2 ⊢ (⊤ → inf(∅, ℝ*, < ) = +∞)
13	12	trud 1490	1 ⊢ inf(∅, ℝ*, < ) = +∞

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 384   = wceq 1480  ⊤wtru 1481   ∈ wcel 1987  ∃wrex 2909  ∅c0 3897   class class class wbr 4623   Or wor 5004  infcinf 8307  +∞cpnf 10031  ℝ^*cxr 10033   < clt 10034

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-op 4162  df-uni 4410  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-sup 8308  df-inf 8309  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039

This theorem is referenced by:  ramcl2lem  15656  infleinf  39087