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Theorem xrhmeo 22685
Description: The bijection from [-1, 1] to the extended reals is an order isomorphism and a homeomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xrhmeo.f 𝐹 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 = 1, +∞, (𝑥 / (1 − 𝑥))))
xrhmeo.g 𝐺 = (𝑦 ∈ (-1[,]1) ↦ if(0 ≤ 𝑦, (𝐹𝑦), -𝑒(𝐹‘-𝑦)))
xrhmeo.j 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
xrhmeo.k 𝐾 = (ordTop‘ ≤ )
Assertion
Ref Expression
xrhmeo (𝐺 Isom < , < ((-1[,]1), ℝ*) ∧ 𝐺 ∈ ((𝐽t (-1[,]1))Homeo(ordTop‘ ≤ )))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝑦,𝐹   𝑥,𝐽,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥,𝑦)   𝐾(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem xrhmeo
Dummy variables 𝑤 𝑣 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccssxr 12214 . . . 4 (-1[,]1) ⊆ ℝ*
2 xrltso 11934 . . . 4 < Or ℝ*
3 soss 5023 . . . 4 ((-1[,]1) ⊆ ℝ* → ( < Or ℝ* → < Or (-1[,]1)))
41, 2, 3mp2 9 . . 3 < Or (-1[,]1)
5 sopo 5022 . . . 4 ( < Or ℝ* → < Po ℝ*)
62, 5ax-mp 5 . . 3 < Po ℝ*
7 xrhmeo.g . . . . 5 𝐺 = (𝑦 ∈ (-1[,]1) ↦ if(0 ≤ 𝑦, (𝐹𝑦), -𝑒(𝐹‘-𝑦)))
8 iccssxr 12214 . . . . . . 7 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
9 neg1rr 11085 . . . . . . . . . . . 12 -1 ∈ ℝ
10 1re 9999 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℝ
119, 10elicc2i 12197 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (-1[,]1) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ -1 ≤ 𝑦𝑦 ≤ 1))
1211simp1bi 1074 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (-1[,]1) → 𝑦 ∈ ℝ)
1312adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ (-1[,]1) ∧ 0 ≤ 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ)
14 simpr 477 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ (-1[,]1) ∧ 0 ≤ 𝑦) → 0 ≤ 𝑦)
1511simp3bi 1076 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (-1[,]1) → 𝑦 ≤ 1)
1615adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ (-1[,]1) ∧ 0 ≤ 𝑦) → 𝑦 ≤ 1)
17 0re 10000 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ
1817, 10elicc2i 12197 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑦𝑦 ≤ 1))
1913, 14, 16, 18syl3anbrc 1244 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ (-1[,]1) ∧ 0 ≤ 𝑦) → 𝑦 ∈ (0[,]1))
20 xrhmeo.f . . . . . . . . . . . 12 𝐹 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 = 1, +∞, (𝑥 / (1 − 𝑥))))
2120iccpnfcnv 22683 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:(0[,]1)–1-1-onto→(0[,]+∞) ∧ 𝐹 = (𝑣 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑣 = +∞, 1, (𝑣 / (1 + 𝑣)))))
2221simpli 474 . . . . . . . . . 10 𝐹:(0[,]1)–1-1-onto→(0[,]+∞)
23 f1of 6104 . . . . . . . . . 10 (𝐹:(0[,]1)–1-1-onto→(0[,]+∞) → 𝐹:(0[,]1)⟶(0[,]+∞))
2422, 23ax-mp 5 . . . . . . . . 9 𝐹:(0[,]1)⟶(0[,]+∞)
2524ffvelrni 6324 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (0[,]1) → (𝐹𝑦) ∈ (0[,]+∞))
2619, 25syl 17 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ (-1[,]1) ∧ 0 ≤ 𝑦) → (𝐹𝑦) ∈ (0[,]+∞))
278, 26sseldi 3586 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ (-1[,]1) ∧ 0 ≤ 𝑦) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ*)
2812adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ (-1[,]1) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ)
2928renegcld 10417 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ (-1[,]1) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑦) → -𝑦 ∈ ℝ)
30 letric 10097 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑦𝑦 ≤ 0))
3117, 12, 30sylancr 694 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ (-1[,]1) → (0 ≤ 𝑦𝑦 ≤ 0))
3231orcanai 951 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ (-1[,]1) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑦) → 𝑦 ≤ 0)
3328le0neg1d 10559 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ (-1[,]1) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑦) → (𝑦 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝑦))
3432, 33mpbid 222 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ (-1[,]1) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑦) → 0 ≤ -𝑦)
3511simp2bi 1075 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ (-1[,]1) → -1 ≤ 𝑦)
3635adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ (-1[,]1) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑦) → -1 ≤ 𝑦)
37 lenegcon1 10492 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (-1 ≤ 𝑦 ↔ -𝑦 ≤ 1))
3810, 28, 37sylancr 694 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ (-1[,]1) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑦) → (-1 ≤ 𝑦 ↔ -𝑦 ≤ 1))
3936, 38mpbid 222 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ (-1[,]1) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑦) → -𝑦 ≤ 1)
4017, 10elicc2i 12197 . . . . . . . . . 10 (-𝑦 ∈ (0[,]1) ↔ (-𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ -𝑦 ∧ -𝑦 ≤ 1))
4129, 34, 39, 40syl3anbrc 1244 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ (-1[,]1) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑦) → -𝑦 ∈ (0[,]1))
4224ffvelrni 6324 . . . . . . . . 9 (-𝑦 ∈ (0[,]1) → (𝐹‘-𝑦) ∈ (0[,]+∞))
4341, 42syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ (-1[,]1) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑦) → (𝐹‘-𝑦) ∈ (0[,]+∞))
448, 43sseldi 3586 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ (-1[,]1) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑦) → (𝐹‘-𝑦) ∈ ℝ*)
4544xnegcld 12089 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ (-1[,]1) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑦) → -𝑒(𝐹‘-𝑦) ∈ ℝ*)
4627, 45ifclda 4098 . . . . 5 (𝑦 ∈ (-1[,]1) → if(0 ≤ 𝑦, (𝐹𝑦), -𝑒(𝐹‘-𝑦)) ∈ ℝ*)
477, 46fmpti 6349 . . . 4 𝐺:(-1[,]1)⟶ℝ*
48 frn 6020 . . . . . 6 (𝐺:(-1[,]1)⟶ℝ* → ran 𝐺 ⊆ ℝ*)
4947, 48ax-mp 5 . . . . 5 ran 𝐺 ⊆ ℝ*
50 ssabral 3658 . . . . . . 7 (ℝ* ⊆ {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (-1[,]1)𝑧 = if(0 ≤ 𝑦, (𝐹𝑦), -𝑒(𝐹‘-𝑦))} ↔ ∀𝑧 ∈ ℝ*𝑦 ∈ (-1[,]1)𝑧 = if(0 ≤ 𝑦, (𝐹𝑦), -𝑒(𝐹‘-𝑦)))
51 0le1 10511 . . . . . . . . . . . . 13 0 ≤ 1
52 le0neg2 10497 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 ∈ ℝ → (0 ≤ 1 ↔ -1 ≤ 0))
5310, 52ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (0 ≤ 1 ↔ -1 ≤ 0)
5451, 53mpbi 220 . . . . . . . . . . . 12 -1 ≤ 0
55 1le1 10615 . . . . . . . . . . . 12 1 ≤ 1
56 iccss 12199 . . . . . . . . . . . 12 (((-1 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (-1 ≤ 0 ∧ 1 ≤ 1)) → (0[,]1) ⊆ (-1[,]1))
579, 10, 54, 55, 56mp4an 708 . . . . . . . . . . 11 (0[,]1) ⊆ (-1[,]1)
58 elxrge0 12239 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑧))
59 f1ocnv 6116 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹:(0[,]1)–1-1-onto→(0[,]+∞) → 𝐹:(0[,]+∞)–1-1-onto→(0[,]1))
60 f1of 6104 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹:(0[,]+∞)–1-1-onto→(0[,]1) → 𝐹:(0[,]+∞)⟶(0[,]1))
6122, 59, 60mp2b 10 . . . . . . . . . . . . 13 𝐹:(0[,]+∞)⟶(0[,]1)
6261ffvelrni 6324 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ (0[,]+∞) → (𝐹𝑧) ∈ (0[,]1))
6358, 62sylbir 225 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑧) → (𝐹𝑧) ∈ (0[,]1))
6457, 63sseldi 3586 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑧) → (𝐹𝑧) ∈ (-1[,]1))
6517, 10elicc2i 12197 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹𝑧) ∈ (0[,]1) ↔ ((𝐹𝑧) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹𝑧) ∧ (𝐹𝑧) ≤ 1))
6665simp2bi 1075 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝑧) ∈ (0[,]1) → 0 ≤ (𝐹𝑧))
6763, 66syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑧) → 0 ≤ (𝐹𝑧))
6858biimpri 218 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑧) → 𝑧 ∈ (0[,]+∞))
69 f1ocnvfv2 6498 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:(0[,]1)–1-1-onto→(0[,]+∞) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]+∞)) → (𝐹‘(𝐹𝑧)) = 𝑧)
7022, 68, 69sylancr 694 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑧) → (𝐹‘(𝐹𝑧)) = 𝑧)
7170eqcomd 2627 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑧) → 𝑧 = (𝐹‘(𝐹𝑧)))
72 breq2 4627 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (𝐹𝑧) → (0 ≤ 𝑦 ↔ 0 ≤ (𝐹𝑧)))
73 fveq2 6158 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (𝐹𝑧) → (𝐹𝑦) = (𝐹‘(𝐹𝑧)))
7473eqeq2d 2631 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (𝐹𝑧) → (𝑧 = (𝐹𝑦) ↔ 𝑧 = (𝐹‘(𝐹𝑧))))
7572, 74anbi12d 746 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝐹𝑧) → ((0 ≤ 𝑦𝑧 = (𝐹𝑦)) ↔ (0 ≤ (𝐹𝑧) ∧ 𝑧 = (𝐹‘(𝐹𝑧)))))
7675rspcev 3299 . . . . . . . . . 10 (((𝐹𝑧) ∈ (-1[,]1) ∧ (0 ≤ (𝐹𝑧) ∧ 𝑧 = (𝐹‘(𝐹𝑧)))) → ∃𝑦 ∈ (-1[,]1)(0 ≤ 𝑦𝑧 = (𝐹𝑦)))
7764, 67, 71, 76syl12anc 1321 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑧) → ∃𝑦 ∈ (-1[,]1)(0 ≤ 𝑦𝑧 = (𝐹𝑦)))
78 iftrue 4070 . . . . . . . . . . . 12 (0 ≤ 𝑦 → if(0 ≤ 𝑦, (𝐹𝑦), -𝑒(𝐹‘-𝑦)) = (𝐹𝑦))
7978eqeq2d 2631 . . . . . . . . . . 11 (0 ≤ 𝑦 → (𝑧 = if(0 ≤ 𝑦, (𝐹𝑦), -𝑒(𝐹‘-𝑦)) ↔ 𝑧 = (𝐹𝑦)))
8079biimpar 502 . . . . . . . . . 10 ((0 ≤ 𝑦𝑧 = (𝐹𝑦)) → 𝑧 = if(0 ≤ 𝑦, (𝐹𝑦), -𝑒(𝐹‘-𝑦)))
8180reximi 3007 . . . . . . . . 9 (∃𝑦 ∈ (-1[,]1)(0 ≤ 𝑦𝑧 = (𝐹𝑦)) → ∃𝑦 ∈ (-1[,]1)𝑧 = if(0 ≤ 𝑦, (𝐹𝑦), -𝑒(𝐹‘-𝑦)))
8277, 81syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑧) → ∃𝑦 ∈ (-1[,]1)𝑧 = if(0 ≤ 𝑦, (𝐹𝑦), -𝑒(𝐹‘-𝑦)))
83 xnegcl 12003 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 ∈ ℝ* → -𝑒𝑧 ∈ ℝ*)
8483adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ ¬ 0 ≤ 𝑧) → -𝑒𝑧 ∈ ℝ*)
85 0xr 10046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 ∈ ℝ*
86 xrletri 11944 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((0 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) → (0 ≤ 𝑧𝑧 ≤ 0))
8785, 86mpan 705 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 ∈ ℝ* → (0 ≤ 𝑧𝑧 ≤ 0))
8887ord 392 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 ∈ ℝ* → (¬ 0 ≤ 𝑧𝑧 ≤ 0))
89 xle0neg1 12011 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 ∈ ℝ* → (𝑧 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝑒𝑧))
9088, 89sylibd 229 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 ∈ ℝ* → (¬ 0 ≤ 𝑧 → 0 ≤ -𝑒𝑧))
9190imp 445 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ ¬ 0 ≤ 𝑧) → 0 ≤ -𝑒𝑧)
92 elxrge0 12239 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-𝑒𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↔ (-𝑒𝑧 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ -𝑒𝑧))
9384, 91, 92sylanbrc 697 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ ¬ 0 ≤ 𝑧) → -𝑒𝑧 ∈ (0[,]+∞))
9461ffvelrni 6324 . . . . . . . . . . . . . 14 (-𝑒𝑧 ∈ (0[,]+∞) → (𝐹‘-𝑒𝑧) ∈ (0[,]1))
9593, 94syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ ¬ 0 ≤ 𝑧) → (𝐹‘-𝑒𝑧) ∈ (0[,]1))
9657, 95sseldi 3586 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ ¬ 0 ≤ 𝑧) → (𝐹‘-𝑒𝑧) ∈ (-1[,]1))
97 iccssre 12213 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-1 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (-1[,]1) ⊆ ℝ)
989, 10, 97mp2an 707 . . . . . . . . . . . . . 14 (-1[,]1) ⊆ ℝ
9998, 96sseldi 3586 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ ¬ 0 ≤ 𝑧) → (𝐹‘-𝑒𝑧) ∈ ℝ)
100 iccneg 12251 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-1 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘-𝑒𝑧) ∈ ℝ) → ((𝐹‘-𝑒𝑧) ∈ (-1[,]1) ↔ -(𝐹‘-𝑒𝑧) ∈ (-1[,]--1)))
1019, 10, 100mp3an12 1411 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹‘-𝑒𝑧) ∈ ℝ → ((𝐹‘-𝑒𝑧) ∈ (-1[,]1) ↔ -(𝐹‘-𝑒𝑧) ∈ (-1[,]--1)))
10299, 101syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ ¬ 0 ≤ 𝑧) → ((𝐹‘-𝑒𝑧) ∈ (-1[,]1) ↔ -(𝐹‘-𝑒𝑧) ∈ (-1[,]--1)))
10396, 102mpbid 222 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ ¬ 0 ≤ 𝑧) → -(𝐹‘-𝑒𝑧) ∈ (-1[,]--1))
104 negneg1e1 11088 . . . . . . . . . . . 12 --1 = 1
105104oveq2i 6626 . . . . . . . . . . 11 (-1[,]--1) = (-1[,]1)
106103, 105syl6eleq 2708 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ ¬ 0 ≤ 𝑧) → -(𝐹‘-𝑒𝑧) ∈ (-1[,]1))
107 xle0neg2 12012 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ ℝ* → (0 ≤ 𝑧 ↔ -𝑒𝑧 ≤ 0))
108107notbid 308 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ ℝ* → (¬ 0 ≤ 𝑧 ↔ ¬ -𝑒𝑧 ≤ 0))
109108biimpa 501 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ ¬ 0 ≤ 𝑧) → ¬ -𝑒𝑧 ≤ 0)
110 f1ocnvfv2 6498 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹:(0[,]1)–1-1-onto→(0[,]+∞) ∧ -𝑒𝑧 ∈ (0[,]+∞)) → (𝐹‘(𝐹‘-𝑒𝑧)) = -𝑒𝑧)
11122, 93, 110sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ ¬ 0 ≤ 𝑧) → (𝐹‘(𝐹‘-𝑒𝑧)) = -𝑒𝑧)
112 0elunit 12248 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ (0[,]1)
113 ax-1ne0 9965 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1 ≠ 0
114 neeq2 2853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = 0 → (1 ≠ 𝑥 ↔ 1 ≠ 0))
115113, 114mpbiri 248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 0 → 1 ≠ 𝑥)
116115necomd 2845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 0 → 𝑥 ≠ 1)
117 ifnefalse 4076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ≠ 1 → if(𝑥 = 1, +∞, (𝑥 / (1 − 𝑥))) = (𝑥 / (1 − 𝑥)))
118116, 117syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 0 → if(𝑥 = 1, +∞, (𝑥 / (1 − 𝑥))) = (𝑥 / (1 − 𝑥)))
119 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 0 → 𝑥 = 0)
120 oveq2 6623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = 0 → (1 − 𝑥) = (1 − 0))
121 1m0e1 11091 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (1 − 0) = 1
122120, 121syl6eq 2671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 0 → (1 − 𝑥) = 1)
123119, 122oveq12d 6633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 0 → (𝑥 / (1 − 𝑥)) = (0 / 1))
124 ax-1cn 9954 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1 ∈ ℂ
125124, 113div0i 10719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0 / 1) = 0
126123, 125syl6eq 2671 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 0 → (𝑥 / (1 − 𝑥)) = 0)
127118, 126eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 0 → if(𝑥 = 1, +∞, (𝑥 / (1 − 𝑥))) = 0)
128 c0ex 9994 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ∈ V
129127, 20, 128fvmpt 6249 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0 ∈ (0[,]1) → (𝐹‘0) = 0)
130112, 129ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹‘0) = 0
131130a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ ¬ 0 ≤ 𝑧) → (𝐹‘0) = 0)
132111, 131breq12d 4636 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ ¬ 0 ≤ 𝑧) → ((𝐹‘(𝐹‘-𝑒𝑧)) ≤ (𝐹‘0) ↔ -𝑒𝑧 ≤ 0))
133109, 132mtbird 315 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ ¬ 0 ≤ 𝑧) → ¬ (𝐹‘(𝐹‘-𝑒𝑧)) ≤ (𝐹‘0))
134 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
13520, 134iccpnfhmeo 22684 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 Isom < , < ((0[,]1), (0[,]+∞)) ∧ 𝐹 ∈ (IIHomeo((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))))
136135simpli 474 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐹 Isom < , < ((0[,]1), (0[,]+∞))
137 iccssxr 12214 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0[,]1) ⊆ ℝ*
138137, 8pm3.2i 471 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0[,]1) ⊆ ℝ* ∧ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*)
139 leisorel 13198 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 Isom < , < ((0[,]1), (0[,]+∞)) ∧ ((0[,]1) ⊆ ℝ* ∧ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*) ∧ ((𝐹‘-𝑒𝑧) ∈ (0[,]1) ∧ 0 ∈ (0[,]1))) → ((𝐹‘-𝑒𝑧) ≤ 0 ↔ (𝐹‘(𝐹‘-𝑒𝑧)) ≤ (𝐹‘0)))
140136, 138, 139mp3an12 1411 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹‘-𝑒𝑧) ∈ (0[,]1) ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹‘-𝑒𝑧) ≤ 0 ↔ (𝐹‘(𝐹‘-𝑒𝑧)) ≤ (𝐹‘0)))
14195, 112, 140sylancl 693 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ ¬ 0 ≤ 𝑧) → ((𝐹‘-𝑒𝑧) ≤ 0 ↔ (𝐹‘(𝐹‘-𝑒𝑧)) ≤ (𝐹‘0)))
142133, 141mtbird 315 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ ¬ 0 ≤ 𝑧) → ¬ (𝐹‘-𝑒𝑧) ≤ 0)
14399le0neg1d 10559 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ ¬ 0 ≤ 𝑧) → ((𝐹‘-𝑒𝑧) ≤ 0 ↔ 0 ≤ -(𝐹‘-𝑒𝑧)))
144142, 143mtbid 314 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ ¬ 0 ≤ 𝑧) → ¬ 0 ≤ -(𝐹‘-𝑒𝑧))
145 unitssre 12277 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0[,]1) ⊆ ℝ
146145, 95sseldi 3586 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ ¬ 0 ≤ 𝑧) → (𝐹‘-𝑒𝑧) ∈ ℝ)
147146recnd 10028 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ ¬ 0 ≤ 𝑧) → (𝐹‘-𝑒𝑧) ∈ ℂ)
148147negnegd 10343 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ ¬ 0 ≤ 𝑧) → --(𝐹‘-𝑒𝑧) = (𝐹‘-𝑒𝑧))
149148fveq2d 6162 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ ¬ 0 ≤ 𝑧) → (𝐹‘--(𝐹‘-𝑒𝑧)) = (𝐹‘(𝐹‘-𝑒𝑧)))
150149, 111eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ ¬ 0 ≤ 𝑧) → (𝐹‘--(𝐹‘-𝑒𝑧)) = -𝑒𝑧)
151 xnegeq 11997 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹‘--(𝐹‘-𝑒𝑧)) = -𝑒𝑧 → -𝑒(𝐹‘--(𝐹‘-𝑒𝑧)) = -𝑒-𝑒𝑧)
152150, 151syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ ¬ 0 ≤ 𝑧) → -𝑒(𝐹‘--(𝐹‘-𝑒𝑧)) = -𝑒-𝑒𝑧)
153 xnegneg 12004 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ ℝ* → -𝑒-𝑒𝑧 = 𝑧)
154153adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ ¬ 0 ≤ 𝑧) → -𝑒-𝑒𝑧 = 𝑧)
155152, 154eqtr2d 2656 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ ¬ 0 ≤ 𝑧) → 𝑧 = -𝑒(𝐹‘--(𝐹‘-𝑒𝑧)))
156 breq2 4627 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = -(𝐹‘-𝑒𝑧) → (0 ≤ 𝑦 ↔ 0 ≤ -(𝐹‘-𝑒𝑧)))
157156notbid 308 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = -(𝐹‘-𝑒𝑧) → (¬ 0 ≤ 𝑦 ↔ ¬ 0 ≤ -(𝐹‘-𝑒𝑧)))
158 negeq 10233 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = -(𝐹‘-𝑒𝑧) → -𝑦 = --(𝐹‘-𝑒𝑧))
159158fveq2d 6162 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = -(𝐹‘-𝑒𝑧) → (𝐹‘-𝑦) = (𝐹‘--(𝐹‘-𝑒𝑧)))
160 xnegeq 11997 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹‘-𝑦) = (𝐹‘--(𝐹‘-𝑒𝑧)) → -𝑒(𝐹‘-𝑦) = -𝑒(𝐹‘--(𝐹‘-𝑒𝑧)))
161159, 160syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = -(𝐹‘-𝑒𝑧) → -𝑒(𝐹‘-𝑦) = -𝑒(𝐹‘--(𝐹‘-𝑒𝑧)))
162161eqeq2d 2631 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = -(𝐹‘-𝑒𝑧) → (𝑧 = -𝑒(𝐹‘-𝑦) ↔ 𝑧 = -𝑒(𝐹‘--(𝐹‘-𝑒𝑧))))
163157, 162anbi12d 746 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = -(𝐹‘-𝑒𝑧) → ((¬ 0 ≤ 𝑦𝑧 = -𝑒(𝐹‘-𝑦)) ↔ (¬ 0 ≤ -(𝐹‘-𝑒𝑧) ∧ 𝑧 = -𝑒(𝐹‘--(𝐹‘-𝑒𝑧)))))
164163rspcev 3299 . . . . . . . . . 10 ((-(𝐹‘-𝑒𝑧) ∈ (-1[,]1) ∧ (¬ 0 ≤ -(𝐹‘-𝑒𝑧) ∧ 𝑧 = -𝑒(𝐹‘--(𝐹‘-𝑒𝑧)))) → ∃𝑦 ∈ (-1[,]1)(¬ 0 ≤ 𝑦𝑧 = -𝑒(𝐹‘-𝑦)))
165106, 144, 155, 164syl12anc 1321 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ ¬ 0 ≤ 𝑧) → ∃𝑦 ∈ (-1[,]1)(¬ 0 ≤ 𝑦𝑧 = -𝑒(𝐹‘-𝑦)))
166 iffalse 4073 . . . . . . . . . . . 12 (¬ 0 ≤ 𝑦 → if(0 ≤ 𝑦, (𝐹𝑦), -𝑒(𝐹‘-𝑦)) = -𝑒(𝐹‘-𝑦))
167166eqeq2d 2631 . . . . . . . . . . 11 (¬ 0 ≤ 𝑦 → (𝑧 = if(0 ≤ 𝑦, (𝐹𝑦), -𝑒(𝐹‘-𝑦)) ↔ 𝑧 = -𝑒(𝐹‘-𝑦)))
168167biimpar 502 . . . . . . . . . 10 ((¬ 0 ≤ 𝑦𝑧 = -𝑒(𝐹‘-𝑦)) → 𝑧 = if(0 ≤ 𝑦, (𝐹𝑦), -𝑒(𝐹‘-𝑦)))
169168reximi 3007 . . . . . . . . 9 (∃𝑦 ∈ (-1[,]1)(¬ 0 ≤ 𝑦𝑧 = -𝑒(𝐹‘-𝑦)) → ∃𝑦 ∈ (-1[,]1)𝑧 = if(0 ≤ 𝑦, (𝐹𝑦), -𝑒(𝐹‘-𝑦)))
170165, 169syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ ¬ 0 ≤ 𝑧) → ∃𝑦 ∈ (-1[,]1)𝑧 = if(0 ≤ 𝑦, (𝐹𝑦), -𝑒(𝐹‘-𝑦)))
17182, 170pm2.61dan 831 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ℝ* → ∃𝑦 ∈ (-1[,]1)𝑧 = if(0 ≤ 𝑦, (𝐹𝑦), -𝑒(𝐹‘-𝑦)))
17250, 171mprgbir 2923 . . . . . 6 * ⊆ {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (-1[,]1)𝑧 = if(0 ≤ 𝑦, (𝐹𝑦), -𝑒(𝐹‘-𝑦))}
1737rnmpt 5341 . . . . . 6 ran 𝐺 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (-1[,]1)𝑧 = if(0 ≤ 𝑦, (𝐹𝑦), -𝑒(𝐹‘-𝑦))}
174172, 173sseqtr4i 3623 . . . . 5 * ⊆ ran 𝐺
17549, 174eqssi 3604 . . . 4 ran 𝐺 = ℝ*
176 dffo2 6086 . . . 4 (𝐺:(-1[,]1)–onto→ℝ* ↔ (𝐺:(-1[,]1)⟶ℝ* ∧ ran 𝐺 = ℝ*))
17747, 175, 176mpbir2an 954 . . 3 𝐺:(-1[,]1)–onto→ℝ*
178 breq1 4626 . . . . . . 7 ((𝐹𝑧) = if(0 ≤ 𝑧, (𝐹𝑧), -𝑒(𝐹‘-𝑧)) → ((𝐹𝑧) < if(0 ≤ 𝑤, (𝐹𝑤), -𝑒(𝐹‘-𝑤)) ↔ if(0 ≤ 𝑧, (𝐹𝑧), -𝑒(𝐹‘-𝑧)) < if(0 ≤ 𝑤, (𝐹𝑤), -𝑒(𝐹‘-𝑤))))
179 breq1 4626 . . . . . . 7 (-𝑒(𝐹‘-𝑧) = if(0 ≤ 𝑧, (𝐹𝑧), -𝑒(𝐹‘-𝑧)) → (-𝑒(𝐹‘-𝑧) < if(0 ≤ 𝑤, (𝐹𝑤), -𝑒(𝐹‘-𝑤)) ↔ if(0 ≤ 𝑧, (𝐹𝑧), -𝑒(𝐹‘-𝑧)) < if(0 ≤ 𝑤, (𝐹𝑤), -𝑒(𝐹‘-𝑤))))
180 simpl3 1064 . . . . . . . . 9 (((𝑧 ∈ (-1[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (-1[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) ∧ 0 ≤ 𝑧) → 𝑧 < 𝑤)
181 simpl1 1062 . . . . . . . . . . 11 (((𝑧 ∈ (-1[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (-1[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) ∧ 0 ≤ 𝑧) → 𝑧 ∈ (-1[,]1))
182 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 (((𝑧 ∈ (-1[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (-1[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) ∧ 0 ≤ 𝑧) → 0 ≤ 𝑧)
183 breq2 4627 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑧 → (0 ≤ 𝑦 ↔ 0 ≤ 𝑧))
184 eleq1 2686 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑧 → (𝑦 ∈ (0[,]1) ↔ 𝑧 ∈ (0[,]1)))
185183, 184imbi12d 334 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑧 → ((0 ≤ 𝑦𝑦 ∈ (0[,]1)) ↔ (0 ≤ 𝑧𝑧 ∈ (0[,]1))))
18619ex 450 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ (-1[,]1) → (0 ≤ 𝑦𝑦 ∈ (0[,]1)))
187185, 186vtoclga 3262 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ (-1[,]1) → (0 ≤ 𝑧𝑧 ∈ (0[,]1)))
188181, 182, 187sylc 65 . . . . . . . . . 10 (((𝑧 ∈ (-1[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (-1[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) ∧ 0 ≤ 𝑧) → 𝑧 ∈ (0[,]1))
189 simpl2 1063 . . . . . . . . . . 11 (((𝑧 ∈ (-1[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (-1[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) ∧ 0 ≤ 𝑧) → 𝑤 ∈ (-1[,]1))
19017a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑧 ∈ (-1[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (-1[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) ∧ 0 ≤ 𝑧) → 0 ∈ ℝ)
19198, 181sseldi 3586 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑧 ∈ (-1[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (-1[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) ∧ 0 ≤ 𝑧) → 𝑧 ∈ ℝ)
19298, 189sseldi 3586 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑧 ∈ (-1[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (-1[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) ∧ 0 ≤ 𝑧) → 𝑤 ∈ ℝ)
193191, 192, 180ltled 10145 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑧 ∈ (-1[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (-1[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) ∧ 0 ≤ 𝑧) → 𝑧𝑤)
194190, 191, 192, 182, 193letrd 10154 . . . . . . . . . . 11 (((𝑧 ∈ (-1[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (-1[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) ∧ 0 ≤ 𝑧) → 0 ≤ 𝑤)
195 breq2 4627 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑤 → (0 ≤ 𝑦 ↔ 0 ≤ 𝑤))
196 eleq1 2686 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑤 → (𝑦 ∈ (0[,]1) ↔ 𝑤 ∈ (0[,]1)))
197195, 196imbi12d 334 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑤 → ((0 ≤ 𝑦𝑦 ∈ (0[,]1)) ↔ (0 ≤ 𝑤𝑤 ∈ (0[,]1))))
198197, 186vtoclga 3262 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 ∈ (-1[,]1) → (0 ≤ 𝑤𝑤 ∈ (0[,]1)))
199189, 194, 198sylc 65 . . . . . . . . . 10 (((𝑧 ∈ (-1[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (-1[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) ∧ 0 ≤ 𝑧) → 𝑤 ∈ (0[,]1))
200 isorel 6541 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 Isom < , < ((0[,]1), (0[,]+∞)) ∧ (𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1))) → (𝑧 < 𝑤 ↔ (𝐹𝑧) < (𝐹𝑤)))
201136, 200mpan 705 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1)) → (𝑧 < 𝑤 ↔ (𝐹𝑧) < (𝐹𝑤)))
202188, 199, 201syl2anc 692 . . . . . . . . 9 (((𝑧 ∈ (-1[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (-1[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) ∧ 0 ≤ 𝑧) → (𝑧 < 𝑤 ↔ (𝐹𝑧) < (𝐹𝑤)))
203180, 202mpbid 222 . . . . . . . 8 (((𝑧 ∈ (-1[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (-1[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) ∧ 0 ≤ 𝑧) → (𝐹𝑧) < (𝐹𝑤))
204194iftrued 4072 . . . . . . . 8 (((𝑧 ∈ (-1[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (-1[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) ∧ 0 ≤ 𝑧) → if(0 ≤ 𝑤, (𝐹𝑤), -𝑒(𝐹‘-𝑤)) = (𝐹𝑤))
205203, 204breqtrrd 4651 . . . . . . 7 (((𝑧 ∈ (-1[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (-1[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) ∧ 0 ≤ 𝑧) → (𝐹𝑧) < if(0 ≤ 𝑤, (𝐹𝑤), -𝑒(𝐹‘-𝑤)))
206 breq2 4627 . . . . . . . 8 ((𝐹𝑤) = if(0 ≤ 𝑤, (𝐹𝑤), -𝑒(𝐹‘-𝑤)) → (-𝑒(𝐹‘-𝑧) < (𝐹𝑤) ↔ -𝑒(𝐹‘-𝑧) < if(0 ≤ 𝑤, (𝐹𝑤), -𝑒(𝐹‘-𝑤))))
207 breq2 4627 . . . . . . . 8 (-𝑒(𝐹‘-𝑤) = if(0 ≤ 𝑤, (𝐹𝑤), -𝑒(𝐹‘-𝑤)) → (-𝑒(𝐹‘-𝑧) < -𝑒(𝐹‘-𝑤) ↔ -𝑒(𝐹‘-𝑧) < if(0 ≤ 𝑤, (𝐹𝑤), -𝑒(𝐹‘-𝑤))))
208 simpl1 1062 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑧 ∈ (-1[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (-1[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑧) → 𝑧 ∈ (-1[,]1))
209 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑧 ∈ (-1[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (-1[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑧) → ¬ 0 ≤ 𝑧)
210183notbid 308 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑧 → (¬ 0 ≤ 𝑦 ↔ ¬ 0 ≤ 𝑧))
211 negeq 10233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = 𝑧 → -𝑦 = -𝑧)
212211eleq1d 2683 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑧 → (-𝑦 ∈ (0[,]1) ↔ -𝑧 ∈ (0[,]1)))
213210, 212imbi12d 334 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑧 → ((¬ 0 ≤ 𝑦 → -𝑦 ∈ (0[,]1)) ↔ (¬ 0 ≤ 𝑧 → -𝑧 ∈ (0[,]1))))
21441ex 450 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ (-1[,]1) → (¬ 0 ≤ 𝑦 → -𝑦 ∈ (0[,]1)))
215213, 214vtoclga 3262 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ (-1[,]1) → (¬ 0 ≤ 𝑧 → -𝑧 ∈ (0[,]1)))
216208, 209, 215sylc 65 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑧 ∈ (-1[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (-1[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑧) → -𝑧 ∈ (0[,]1))
217216adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑧 ∈ (-1[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (-1[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑧) ∧ 0 ≤ 𝑤) → -𝑧 ∈ (0[,]1))
21824ffvelrni 6324 . . . . . . . . . . . 12 (-𝑧 ∈ (0[,]1) → (𝐹‘-𝑧) ∈ (0[,]+∞))
219217, 218syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑧 ∈ (-1[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (-1[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑧) ∧ 0 ≤ 𝑤) → (𝐹‘-𝑧) ∈ (0[,]+∞))
2208, 219sseldi 3586 . . . . . . . . . 10 ((((𝑧 ∈ (-1[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (-1[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑧) ∧ 0 ≤ 𝑤) → (𝐹‘-𝑧) ∈ ℝ*)
221220xnegcld 12089 . . . . . . . . 9 ((((𝑧 ∈ (-1[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (-1[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑧) ∧ 0 ≤ 𝑤) → -𝑒(𝐹‘-𝑧) ∈ ℝ*)
22285a1i 11 . . . . . . . . 9 ((((𝑧 ∈ (-1[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (-1[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑧) ∧ 0 ≤ 𝑤) → 0 ∈ ℝ*)
223 simpll2 1099 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑧 ∈ (-1[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (-1[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑧) ∧ 0 ≤ 𝑤) → 𝑤 ∈ (-1[,]1))
224 simpr 477 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑧 ∈ (-1[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (-1[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑧) ∧ 0 ≤ 𝑤) → 0 ≤ 𝑤)
225223, 224, 198sylc 65 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑧 ∈ (-1[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (-1[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑧) ∧ 0 ≤ 𝑤) → 𝑤 ∈ (0[,]1))
22624ffvelrni 6324 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 ∈ (0[,]1) → (𝐹𝑤) ∈ (0[,]+∞))
227225, 226syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝑧 ∈ (-1[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (-1[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑧) ∧ 0 ≤ 𝑤) → (𝐹𝑤) ∈ (0[,]+∞))
2288, 227sseldi 3586 . . . . . . . . 9 ((((𝑧 ∈ (-1[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (-1[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑧) ∧ 0 ≤ 𝑤) → (𝐹𝑤) ∈ ℝ*)
229209adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑧 ∈ (-1[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (-1[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑧) ∧ 0 ≤ 𝑤) → ¬ 0 ≤ 𝑧)
230 simpll1 1098 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑧 ∈ (-1[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (-1[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑧) ∧ 0 ≤ 𝑤) → 𝑧 ∈ (-1[,]1))
23198, 230sseldi 3586 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑧 ∈ (-1[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (-1[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑧) ∧ 0 ≤ 𝑤) → 𝑧 ∈ ℝ)
232 ltnle 10077 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝑧 < 0 ↔ ¬ 0 ≤ 𝑧))
233231, 17, 232sylancl 693 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑧 ∈ (-1[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (-1[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑧) ∧ 0 ≤ 𝑤) → (𝑧 < 0 ↔ ¬ 0 ≤ 𝑧))
234229, 233mpbird 247 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑧 ∈ (-1[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (-1[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑧) ∧ 0 ≤ 𝑤) → 𝑧 < 0)
235231lt0neg1d 10557 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑧 ∈ (-1[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (-1[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑧) ∧ 0 ≤ 𝑤) → (𝑧 < 0 ↔ 0 < -𝑧))
236234, 235mpbid 222 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑧 ∈ (-1[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (-1[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑧) ∧ 0 ≤ 𝑤) → 0 < -𝑧)
237 isorel 6541 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 Isom < , < ((0[,]1), (0[,]+∞)) ∧ (0 ∈ (0[,]1) ∧ -𝑧 ∈ (0[,]1))) → (0 < -𝑧 ↔ (𝐹‘0) < (𝐹‘-𝑧)))
238136, 237mpan 705 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ (0[,]1) ∧ -𝑧 ∈ (0[,]1)) → (0 < -𝑧 ↔ (𝐹‘0) < (𝐹‘-𝑧)))
239112, 217, 238sylancr 694 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑧 ∈ (-1[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (-1[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑧) ∧ 0 ≤ 𝑤) → (0 < -𝑧 ↔ (𝐹‘0) < (𝐹‘-𝑧)))
240236, 239mpbid 222 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑧 ∈ (-1[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (-1[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑧) ∧ 0 ≤ 𝑤) → (𝐹‘0) < (𝐹‘-𝑧))
241130, 240syl5eqbrr 4659 . . . . . . . . . 10 ((((𝑧 ∈ (-1[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (-1[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑧) ∧ 0 ≤ 𝑤) → 0 < (𝐹‘-𝑧))
242 xlt0neg2 12010 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹‘-𝑧) ∈ ℝ* → (0 < (𝐹‘-𝑧) ↔ -𝑒(𝐹‘-𝑧) < 0))
243220, 242syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝑧 ∈ (-1[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (-1[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑧) ∧ 0 ≤ 𝑤) → (0 < (𝐹‘-𝑧) ↔ -𝑒(𝐹‘-𝑧) < 0))
244241, 243mpbid 222 . . . . . . . . 9 ((((𝑧 ∈ (-1[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (-1[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑧) ∧ 0 ≤ 𝑤) → -𝑒(𝐹‘-𝑧) < 0)
245 elxrge0 12239 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝑤) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐹𝑤) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐹𝑤)))
246245simprbi 480 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝑤) ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ (𝐹𝑤))
247227, 246syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝑧 ∈ (-1[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (-1[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑧) ∧ 0 ≤ 𝑤) → 0 ≤ (𝐹𝑤))
248221, 222, 228, 244, 247xrltletrd 11952 . . . . . . . 8 ((((𝑧 ∈ (-1[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (-1[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑧) ∧ 0 ≤ 𝑤) → -𝑒(𝐹‘-𝑧) < (𝐹𝑤))
249 simpll3 1100 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑧 ∈ (-1[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (-1[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑧) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑤) → 𝑧 < 𝑤)
250 simpll1 1098 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑧 ∈ (-1[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (-1[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑧) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑤) → 𝑧 ∈ (-1[,]1))
25198, 250sseldi 3586 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑧 ∈ (-1[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (-1[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑧) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑤) → 𝑧 ∈ ℝ)
252 simpll2 1099 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑧 ∈ (-1[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (-1[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑧) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑤) → 𝑤 ∈ (-1[,]1))
25398, 252sseldi 3586 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑧 ∈ (-1[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (-1[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑧) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑤) → 𝑤 ∈ ℝ)
254251, 253ltnegd 10565 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑧 ∈ (-1[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (-1[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑧) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑤) → (𝑧 < 𝑤 ↔ -𝑤 < -𝑧))
255249, 254mpbid 222 . . . . . . . . . 10 ((((𝑧 ∈ (-1[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (-1[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑧) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑤) → -𝑤 < -𝑧)
256 simpr 477 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑧 ∈ (-1[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (-1[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑧) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑤) → ¬ 0 ≤ 𝑤)
257195notbid 308 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑤 → (¬ 0 ≤ 𝑦 ↔ ¬ 0 ≤ 𝑤))
258 negeq 10233 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑤 → -𝑦 = -𝑤)
259258eleq1d 2683 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑤 → (-𝑦 ∈ (0[,]1) ↔ -𝑤 ∈ (0[,]1)))
260257, 259imbi12d 334 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑤 → ((¬ 0 ≤ 𝑦 → -𝑦 ∈ (0[,]1)) ↔ (¬ 0 ≤ 𝑤 → -𝑤 ∈ (0[,]1))))
261260, 214vtoclga 3262 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 ∈ (-1[,]1) → (¬ 0 ≤ 𝑤 → -𝑤 ∈ (0[,]1)))
262252, 256, 261sylc 65 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑧 ∈ (-1[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (-1[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑧) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑤) → -𝑤 ∈ (0[,]1))
263216adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑧 ∈ (-1[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (-1[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑧) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑤) → -𝑧 ∈ (0[,]1))
264 isorel 6541 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 Isom < , < ((0[,]1), (0[,]+∞)) ∧ (-𝑤 ∈ (0[,]1) ∧ -𝑧 ∈ (0[,]1))) → (-𝑤 < -𝑧 ↔ (𝐹‘-𝑤) < (𝐹‘-𝑧)))
265136, 264mpan 705 . . . . . . . . . . 11 ((-𝑤 ∈ (0[,]1) ∧ -𝑧 ∈ (0[,]1)) → (-𝑤 < -𝑧 ↔ (𝐹‘-𝑤) < (𝐹‘-𝑧)))
266262, 263, 265syl2anc 692 . . . . . . . . . 10 ((((𝑧 ∈ (-1[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (-1[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑧) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑤) → (-𝑤 < -𝑧 ↔ (𝐹‘-𝑤) < (𝐹‘-𝑧)))
267255, 266mpbid 222 . . . . . . . . 9 ((((𝑧 ∈ (-1[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (-1[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑧) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑤) → (𝐹‘-𝑤) < (𝐹‘-𝑧))
26824ffvelrni 6324 . . . . . . . . . . . 12 (-𝑤 ∈ (0[,]1) → (𝐹‘-𝑤) ∈ (0[,]+∞))
269262, 268syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑧 ∈ (-1[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (-1[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑧) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑤) → (𝐹‘-𝑤) ∈ (0[,]+∞))
2708, 269sseldi 3586 . . . . . . . . . 10 ((((𝑧 ∈ (-1[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (-1[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑧) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑤) → (𝐹‘-𝑤) ∈ ℝ*)
271263, 218syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑧 ∈ (-1[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (-1[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑧) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑤) → (𝐹‘-𝑧) ∈ (0[,]+∞))
2728, 271sseldi 3586 . . . . . . . . . 10 ((((𝑧 ∈ (-1[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (-1[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑧) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑤) → (𝐹‘-𝑧) ∈ ℝ*)
273 xltneg 12007 . . . . . . . . . 10 (((𝐹‘-𝑤) ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘-𝑧) ∈ ℝ*) → ((𝐹‘-𝑤) < (𝐹‘-𝑧) ↔ -𝑒(𝐹‘-𝑧) < -𝑒(𝐹‘-𝑤)))
274270, 272, 273syl2anc 692 . . . . . . . . 9 ((((𝑧 ∈ (-1[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (-1[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑧) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑤) → ((𝐹‘-𝑤) < (𝐹‘-𝑧) ↔ -𝑒(𝐹‘-𝑧) < -𝑒(𝐹‘-𝑤)))
275267, 274mpbid 222 . . . . . . . 8 ((((𝑧 ∈ (-1[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (-1[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑧) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑤) → -𝑒(𝐹‘-𝑧) < -𝑒(𝐹‘-𝑤))
276206, 207, 248, 275ifbothda 4101 . . . . . . 7 (((𝑧 ∈ (-1[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (-1[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑧) → -𝑒(𝐹‘-𝑧) < if(0 ≤ 𝑤, (𝐹𝑤), -𝑒(𝐹‘-𝑤)))
277178, 179, 205, 276ifbothda 4101 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ (-1[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (-1[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) → if(0 ≤ 𝑧, (𝐹𝑧), -𝑒(𝐹‘-𝑧)) < if(0 ≤ 𝑤, (𝐹𝑤), -𝑒(𝐹‘-𝑤)))
2782773expia 1264 . . . . 5 ((𝑧 ∈ (-1[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (-1[,]1)) → (𝑧 < 𝑤 → if(0 ≤ 𝑧, (𝐹𝑧), -𝑒(𝐹‘-𝑧)) < if(0 ≤ 𝑤, (𝐹𝑤), -𝑒(𝐹‘-𝑤))))
279 fveq2 6158 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑧 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑧))
280211fveq2d 6162 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑧 → (𝐹‘-𝑦) = (𝐹‘-𝑧))
281 xnegeq 11997 . . . . . . . . 9 ((𝐹‘-𝑦) = (𝐹‘-𝑧) → -𝑒(𝐹‘-𝑦) = -𝑒(𝐹‘-𝑧))
282280, 281syl 17 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑧 → -𝑒(𝐹‘-𝑦) = -𝑒(𝐹‘-𝑧))
283183, 279, 282ifbieq12d 4091 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑧 → if(0 ≤ 𝑦, (𝐹𝑦), -𝑒(𝐹‘-𝑦)) = if(0 ≤ 𝑧, (𝐹𝑧), -𝑒(𝐹‘-𝑧)))
284 fvex 6168 . . . . . . . 8 (𝐹𝑧) ∈ V
285 xnegex 11998 . . . . . . . 8 -𝑒(𝐹‘-𝑧) ∈ V
286284, 285ifex 4134 . . . . . . 7 if(0 ≤ 𝑧, (𝐹𝑧), -𝑒(𝐹‘-𝑧)) ∈ V
287283, 7, 286fvmpt 6249 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (-1[,]1) → (𝐺𝑧) = if(0 ≤ 𝑧, (𝐹𝑧), -𝑒(𝐹‘-𝑧)))
288 fveq2 6158 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑤 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑤))
289258fveq2d 6162 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑤 → (𝐹‘-𝑦) = (𝐹‘-𝑤))
290 xnegeq 11997 . . . . . . . . 9 ((𝐹‘-𝑦) = (𝐹‘-𝑤) → -𝑒(𝐹‘-𝑦) = -𝑒(𝐹‘-𝑤))
291289, 290syl 17 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑤 → -𝑒(𝐹‘-𝑦) = -𝑒(𝐹‘-𝑤))
292195, 288, 291ifbieq12d 4091 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑤 → if(0 ≤ 𝑦, (𝐹𝑦), -𝑒(𝐹‘-𝑦)) = if(0 ≤ 𝑤, (𝐹𝑤), -𝑒(𝐹‘-𝑤)))
293 fvex 6168 . . . . . . . 8 (𝐹𝑤) ∈ V
294 xnegex 11998 . . . . . . . 8 -𝑒(𝐹‘-𝑤) ∈ V
295293, 294ifex 4134 . . . . . . 7 if(0 ≤ 𝑤, (𝐹𝑤), -𝑒(𝐹‘-𝑤)) ∈ V
296292, 7, 295fvmpt 6249 . . . . . 6 (𝑤 ∈ (-1[,]1) → (𝐺𝑤) = if(0 ≤ 𝑤, (𝐹𝑤), -𝑒(𝐹‘-𝑤)))
297287, 296breqan12d 4639 . . . . 5 ((𝑧 ∈ (-1[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (-1[,]1)) → ((𝐺𝑧) < (𝐺𝑤) ↔ if(0 ≤ 𝑧, (𝐹𝑧), -𝑒(𝐹‘-𝑧)) < if(0 ≤ 𝑤, (𝐹𝑤), -𝑒(𝐹‘-𝑤))))
298278, 297sylibrd 249 . . . 4 ((𝑧 ∈ (-1[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (-1[,]1)) → (𝑧 < 𝑤 → (𝐺𝑧) < (𝐺𝑤)))
299298rgen2a 2973 . . 3 𝑧 ∈ (-1[,]1)∀𝑤 ∈ (-1[,]1)(𝑧 < 𝑤 → (𝐺𝑧) < (𝐺𝑤))
300 soisoi 6543 . . 3 ((( < Or (-1[,]1) ∧ < Po ℝ*) ∧ (𝐺:(-1[,]1)–onto→ℝ* ∧ ∀𝑧 ∈ (-1[,]1)∀𝑤 ∈ (-1[,]1)(𝑧 < 𝑤 → (𝐺𝑧) < (𝐺𝑤)))) → 𝐺 Isom < , < ((-1[,]1), ℝ*))
3014, 6, 177, 299, 300mp4an 708 . 2 𝐺 Isom < , < ((-1[,]1), ℝ*)
302 letsr 17167 . . . . . 6 ≤ ∈ TosetRel
303302elexi 3203 . . . . 5 ≤ ∈ V
304303inex1 4769 . . . 4 ( ≤ ∩ ((-1[,]1) × (-1[,]1))) ∈ V
305 ssid 3609 . . . . . . 7 * ⊆ ℝ*
306 leiso 13197 . . . . . . 7 (((-1[,]1) ⊆ ℝ* ∧ ℝ* ⊆ ℝ*) → (𝐺 Isom < , < ((-1[,]1), ℝ*) ↔ 𝐺 Isom ≤ , ≤ ((-1[,]1), ℝ*)))
3071, 305, 306mp2an 707 . . . . . 6 (𝐺 Isom < , < ((-1[,]1), ℝ*) ↔ 𝐺 Isom ≤ , ≤ ((-1[,]1), ℝ*))
308301, 307mpbi 220 . . . . 5 𝐺 Isom ≤ , ≤ ((-1[,]1), ℝ*)
309 isores1 6549 . . . . 5 (𝐺 Isom ≤ , ≤ ((-1[,]1), ℝ*) ↔ 𝐺 Isom ( ≤ ∩ ((-1[,]1) × (-1[,]1))), ≤ ((-1[,]1), ℝ*))
310308, 309mpbi 220 . . . 4 𝐺 Isom ( ≤ ∩ ((-1[,]1) × (-1[,]1))), ≤ ((-1[,]1), ℝ*)
311 tsrps 17161 . . . . . . . 8 ( ≤ ∈ TosetRel → ≤ ∈ PosetRel)
312302, 311ax-mp 5 . . . . . . 7 ≤ ∈ PosetRel
313 ledm 17164 . . . . . . . 8 * = dom ≤
314313psssdm 17156 . . . . . . 7 (( ≤ ∈ PosetRel ∧ (-1[,]1) ⊆ ℝ*) → dom ( ≤ ∩ ((-1[,]1) × (-1[,]1))) = (-1[,]1))
315312, 1, 314mp2an 707 . . . . . 6 dom ( ≤ ∩ ((-1[,]1) × (-1[,]1))) = (-1[,]1)
316315eqcomi 2630 . . . . 5 (-1[,]1) = dom ( ≤ ∩ ((-1[,]1) × (-1[,]1)))
317316, 313ordthmeo 21545 . . . 4 ((( ≤ ∩ ((-1[,]1) × (-1[,]1))) ∈ V ∧ ≤ ∈ TosetRel ∧ 𝐺 Isom ( ≤ ∩ ((-1[,]1) × (-1[,]1))), ≤ ((-1[,]1), ℝ*)) → 𝐺 ∈ ((ordTop‘( ≤ ∩ ((-1[,]1) × (-1[,]1))))Homeo(ordTop‘ ≤ )))
318304, 302, 310, 317mp3an 1421 . . 3 𝐺 ∈ ((ordTop‘( ≤ ∩ ((-1[,]1) × (-1[,]1))))Homeo(ordTop‘ ≤ ))
319 xrhmeo.j . . . . . . 7 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
320 eqid 2621 . . . . . . 7 (ordTop‘ ≤ ) = (ordTop‘ ≤ )
321319, 320xrrest2 22551 . . . . . 6 ((-1[,]1) ⊆ ℝ → (𝐽t (-1[,]1)) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (-1[,]1)))
32298, 321ax-mp 5 . . . . 5 (𝐽t (-1[,]1)) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (-1[,]1))
323 ordtresticc 20967 . . . . 5 ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (-1[,]1)) = (ordTop‘( ≤ ∩ ((-1[,]1) × (-1[,]1))))
324322, 323eqtri 2643 . . . 4 (𝐽t (-1[,]1)) = (ordTop‘( ≤ ∩ ((-1[,]1) × (-1[,]1))))
325324oveq1i 6625 . . 3 ((𝐽t (-1[,]1))Homeo(ordTop‘ ≤ )) = ((ordTop‘( ≤ ∩ ((-1[,]1) × (-1[,]1))))Homeo(ordTop‘ ≤ ))
326318, 325eleqtrri 2697 . 2 𝐺 ∈ ((𝐽t (-1[,]1))Homeo(ordTop‘ ≤ ))
327301, 326pm3.2i 471 1 (𝐺 Isom < , < ((-1[,]1), ℝ*) ∧ 𝐺 ∈ ((𝐽t (-1[,]1))Homeo(ordTop‘ ≤ )))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  {cab 2607  wne 2790  wral 2908  wrex 2909  Vcvv 3190  cin 3559  wss 3560  ifcif 4064   class class class wbr 4623  cmpt 4683   Po wpo 5003   Or wor 5004   × cxp 5082  ccnv 5083  dom cdm 5084  ran crn 5085  wf 5853  ontowfo 5855  1-1-ontowf1o 5856  cfv 5857   Isom wiso 5858  (class class class)co 6615  cr 9895  0cc0 9896  1c1 9897   + caddc 9899  +∞cpnf 10031  *cxr 10033   < clt 10034  cle 10035  cmin 10226  -cneg 10227   / cdiv 10644  -𝑒cxne 11903  [,]cicc 12136  t crest 16021  TopOpenctopn 16022  ordTopcordt 16099  PosetRelcps 17138   TosetRel ctsr 17139  fldccnfld 19686  Homeochmeo 21496  IIcii 22618
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-pre-sup 9974
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-iin 4495  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-isom 5866  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-oadd 7524  df-er 7702  df-map 7819  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-fi 8277  df-sup 8308  df-inf 8309  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-4 11041  df-5 11042  df-6 11043  df-7 11044  df-8 11045  df-9 11046  df-n0 11253  df-z 11338  df-dec 11454  df-uz 11648  df-q 11749  df-rp 11793  df-xneg 11906  df-xadd 11907  df-xmul 11908  df-ioo 12137  df-ioc 12138  df-ico 12139  df-icc 12140  df-fz 12285  df-seq 12758  df-exp 12817  df-cj 13789  df-re 13790  df-im 13791  df-sqrt 13925  df-abs 13926  df-struct 15802  df-ndx 15803  df-slot 15804  df-base 15805  df-plusg 15894  df-mulr 15895  df-starv 15896  df-tset 15900  df-ple 15901  df-ds 15904  df-unif 15905  df-rest 16023  df-topn 16024  df-topgen 16044  df-ordt 16101  df-ps 17140  df-tsr 17141  df-psmet 19678  df-xmet 19679  df-met 19680  df-bl 19681  df-mopn 19682  df-cnfld 19687  df-top 20639  df-topon 20656  df-topsp 20677  df-bases 20690  df-cn 20971  df-hmeo 21498  df-xms 22065  df-ms 22066  df-ii 22620
This theorem is referenced by:  xrhmph  22686
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