Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrge0tsmsd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrge0tsmsd 29913
Description: Any finite or infinite sum in the nonnegative extended reals is uniquely convergent to the supremum of all finite sums. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 30-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
xrge0tsmsd.g 𝐺 = (ℝ*𝑠s (0[,]+∞))
xrge0tsmsd.a (𝜑𝐴𝑉)
xrge0tsmsd.f (𝜑𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞))
xrge0tsmsd.s (𝜑𝑆 = sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))), ℝ*, < ))
Assertion
Ref Expression
xrge0tsmsd (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) = {𝑆})
Distinct variable groups:   𝐴,𝑠   𝐹,𝑠   𝜑,𝑠   𝐺,𝑠
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑠)   𝑉(𝑠)

Proof of Theorem xrge0tsmsd
Dummy variables 𝑟 𝑢 𝑣 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrge0tsmsd.s . . . . 5 (𝜑𝑆 = sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))), ℝ*, < ))
2 iccssxr 12294 . . . . . . . . 9 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
3 xrge0tsmsd.g . . . . . . . . . . . 12 𝐺 = (ℝ*𝑠s (0[,]+∞))
4 xrsbas 19810 . . . . . . . . . . . 12 * = (Base‘ℝ*𝑠)
53, 4ressbas2 15978 . . . . . . . . . . 11 ((0[,]+∞) ⊆ ℝ* → (0[,]+∞) = (Base‘𝐺))
62, 5ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (0[,]+∞) = (Base‘𝐺)
7 eqid 2651 . . . . . . . . . 10 (0g𝐺) = (0g𝐺)
8 xrge0cmn 19836 . . . . . . . . . . . 12 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
93, 8eqeltri 2726 . . . . . . . . . . 11 𝐺 ∈ CMnd
109a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐺 ∈ CMnd)
11 simpr 476 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
12 xrge0tsmsd.f . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞))
13 elfpw 8309 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝑠𝐴𝑠 ∈ Fin))
1413simplbi 475 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑠𝐴)
15 fssres 6108 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑠𝐴) → (𝐹𝑠):𝑠⟶(0[,]+∞))
1612, 14, 15syl2an 493 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹𝑠):𝑠⟶(0[,]+∞))
17 elinel2 3833 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑠 ∈ Fin)
1817adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑠 ∈ Fin)
19 fvexd 6241 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (0g𝐺) ∈ V)
2016, 18, 19fdmfifsupp 8326 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹𝑠) finSupp (0g𝐺))
216, 7, 10, 11, 16, 20gsumcl 18362 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐺 Σg (𝐹𝑠)) ∈ (0[,]+∞))
222, 21sseldi 3634 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐺 Σg (𝐹𝑠)) ∈ ℝ*)
23 eqid 2651 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))) = (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠)))
2422, 23fmptd 6425 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))):(𝒫 𝐴 ∩ Fin)⟶ℝ*)
25 frn 6091 . . . . . . 7 ((𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))):(𝒫 𝐴 ∩ Fin)⟶ℝ* → ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))) ⊆ ℝ*)
2624, 25syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))) ⊆ ℝ*)
27 supxrcl 12183 . . . . . 6 (ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))) ⊆ ℝ* → sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
2826, 27syl 17 . . . . 5 (𝜑 → sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
291, 28eqeltrd 2730 . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ ℝ*)
30 0ss 4005 . . . . . . . 8 ∅ ⊆ 𝐴
31 0fin 8229 . . . . . . . 8 ∅ ∈ Fin
32 elfpw 8309 . . . . . . . 8 (∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (∅ ⊆ 𝐴 ∧ ∅ ∈ Fin))
3330, 31, 32mpbir2an 975 . . . . . . 7 ∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
34 0cn 10070 . . . . . . 7 0 ∈ ℂ
35 reseq2 5423 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = ∅ → (𝐹𝑠) = (𝐹 ↾ ∅))
36 res0 5432 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ↾ ∅) = ∅
3735, 36syl6eq 2701 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = ∅ → (𝐹𝑠) = ∅)
3837oveq2d 6706 . . . . . . . . 9 (𝑠 = ∅ → (𝐺 Σg (𝐹𝑠)) = (𝐺 Σg ∅))
39 eqid 2651 . . . . . . . . . . . 12 (ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})) = (ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞}))
4039xrge0subm 19835 . . . . . . . . . . 11 (0[,]+∞) ∈ (SubMnd‘(ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})))
41 xrex 11867 . . . . . . . . . . . . . . 15 * ∈ V
42 difexg 4841 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℝ* ∈ V → (ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V)
4341, 42ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V
44 simpl 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ*)
45 ge0nemnf 12042 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑥) → 𝑥 ≠ -∞)
4644, 45jca 553 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑥) → (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 ≠ -∞))
47 elxrge0 12319 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑥))
48 eldifsn 4350 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) ↔ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 ≠ -∞))
4946, 47, 483imtr4i 281 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → 𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}))
5049ssriv 3640 . . . . . . . . . . . . . 14 (0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞})
51 ressabs 15986 . . . . . . . . . . . . . 14 (((ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V ∧ (0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞})) → ((ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})) ↾s (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
5243, 50, 51mp2an 708 . . . . . . . . . . . . 13 ((ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})) ↾s (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠s (0[,]+∞))
533, 52eqtr4i 2676 . . . . . . . . . . . 12 𝐺 = ((ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})) ↾s (0[,]+∞))
5439xrs10 19833 . . . . . . . . . . . 12 0 = (0g‘(ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})))
5553, 54subm0 17403 . . . . . . . . . . 11 ((0[,]+∞) ∈ (SubMnd‘(ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞}))) → 0 = (0g𝐺))
5640, 55ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 0 = (0g𝐺)
5756gsum0 17325 . . . . . . . . 9 (𝐺 Σg ∅) = 0
5838, 57syl6eq 2701 . . . . . . . 8 (𝑠 = ∅ → (𝐺 Σg (𝐹𝑠)) = 0)
5923, 58elrnmpt1s 5405 . . . . . . 7 ((∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 0 ∈ ℂ) → 0 ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))))
6033, 34, 59mp2an 708 . . . . . 6 0 ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠)))
61 supxrub 12192 . . . . . 6 ((ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))) ⊆ ℝ* ∧ 0 ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠)))) → 0 ≤ sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))), ℝ*, < ))
6226, 60, 61sylancl 695 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))), ℝ*, < ))
6362, 1breqtrrd 4713 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ 𝑆)
64 elxrge0 12319 . . . 4 (𝑆 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑆 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑆))
6529, 63, 64sylanbrc 699 . . 3 (𝜑𝑆 ∈ (0[,]+∞))
66 letop 21058 . . . . . 6 (ordTop‘ ≤ ) ∈ Top
67 ovex 6718 . . . . . 6 (0[,]+∞) ∈ V
68 elrest 16135 . . . . . 6 (((ordTop‘ ≤ ) ∈ Top ∧ (0[,]+∞) ∈ V) → (𝑢 ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ↔ ∃𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ )𝑢 = (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
6966, 67, 68mp2an 708 . . . . 5 (𝑢 ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ↔ ∃𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ )𝑢 = (𝑣 ∩ (0[,]+∞)))
70 elinel1 3832 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)) → 𝑆𝑣)
71 simplrl 817 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → 𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ))
72 reex 10065 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℝ ∈ V
73 elrestr 16136 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((ordTop‘ ≤ ) ∈ Top ∧ ℝ ∈ V ∧ 𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ )) → (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ))
7466, 72, 73mp3an12 1454 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) → (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ))
7571, 74syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ))
76 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . 14 ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ)
7776xrtgioo 22656 . . . . . . . . . . . . 13 (topGen‘ran (,)) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ)
7875, 77syl6eleqr 2741 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → (𝑣 ∩ ℝ) ∈ (topGen‘ran (,)))
79 simplrr 818 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → 𝑆𝑣)
80 simpr 476 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈ ℝ)
8179, 80elind 3831 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈ (𝑣 ∩ ℝ))
82 tg2 20817 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑣 ∩ ℝ) ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑣 ∩ ℝ)) → ∃𝑢 ∈ ran (,)(𝑆𝑢𝑢 ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))
8378, 81, 82syl2anc 694 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → ∃𝑢 ∈ ran (,)(𝑆𝑢𝑢 ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))
84 ioof 12309 . . . . . . . . . . . . . 14 (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
85 ffn 6083 . . . . . . . . . . . . . 14 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
86 ovelrn 6852 . . . . . . . . . . . . . 14 ((,) Fn (ℝ* × ℝ*) → (𝑢 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ* 𝑢 = (𝑟(,)𝑤)))
8784, 85, 86mp2b 10 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ* 𝑢 = (𝑟(,)𝑤))
88 simprrr 822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) → (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ))
8988adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ))
90 inss1 3866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑣 ∩ ℝ) ⊆ 𝑣
9189, 90syl6ss 3648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → (𝑟(,)𝑤) ⊆ 𝑣)
929a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → 𝐺 ∈ CMnd)
93 simprrl 821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
94 elinel2 3833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑦 ∈ Fin)
9593, 94syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → 𝑦 ∈ Fin)
96 simp-4l 823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → 𝜑)
9796, 12syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → 𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞))
98 elfpw 8309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝑦𝐴𝑦 ∈ Fin))
9998simplbi 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑦𝐴)
10093, 99syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → 𝑦𝐴)
10197, 100fssresd 6109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → (𝐹𝑦):𝑦⟶(0[,]+∞))
102 ffun 6086 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞) → Fun 𝐹)
10312, 102syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝜑 → Fun 𝐹)
104103ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → Fun 𝐹)
105104ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → Fun 𝐹)
106 c0ex 10072 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 0 ∈ V
107106a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → 0 ∈ V)
108105, 95, 107resfifsupp 8344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → (𝐹𝑦) finSupp 0)
1096, 56, 92, 95, 101, 108gsumcl 18362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (0[,]+∞))
1102, 109sseldi 3634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ ℝ*)
111 simprll 819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) → 𝑟 ∈ ℝ*)
112111adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → 𝑟 ∈ ℝ*)
113 simprll 819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
114 simprrr 822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → 𝑧𝑦)
115114, 100sstrd 3646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → 𝑧𝐴)
11697, 115fssresd 6109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → (𝐹𝑧):𝑧⟶(0[,]+∞))
117 ssfi 8221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑧𝑦) → 𝑧 ∈ Fin)
11895, 114, 117syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → 𝑧 ∈ Fin)
119 fvexd 6241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → (0g𝐺) ∈ V)
120116, 118, 119fdmfifsupp 8326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → (𝐹𝑧) finSupp (0g𝐺))
1216, 7, 92, 113, 116, 120gsumcl 18362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ (0[,]+∞))
1222, 121sseldi 3634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ ℝ*)
123 simprlr 820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))
124 xrge0tsmsd.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑𝐴𝑉)
12596, 124syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → 𝐴𝑉)
1263, 125, 97, 93, 114xrge0gsumle 22683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ≤ (𝐺 Σg (𝐹𝑦)))
127112, 122, 110, 123, 126xrltletrd 12030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑦)))
12896, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → 𝑆 ∈ ℝ*)
129 simprlr 820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) → 𝑤 ∈ ℝ*)
130129adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → 𝑤 ∈ ℝ*)
13196, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))) ⊆ ℝ*)
132 ovex 6718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ V
133 reseq2 5423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑠 = 𝑦 → (𝐹𝑠) = (𝐹𝑦))
134133oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑠 = 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑠)) = (𝐺 Σg (𝐹𝑦)))
13523, 134elrnmpt1s 5405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ V) → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))))
13693, 132, 135sylancl 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))))
137 supxrub 12192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))) ⊆ ℝ* ∧ (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠)))) → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ≤ sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))), ℝ*, < ))
138131, 136, 137syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ≤ sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))), ℝ*, < ))
13996, 1syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → 𝑆 = sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))), ℝ*, < ))
140138, 139breqtrrd 4713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ≤ 𝑆)
141 simprrl 821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) → 𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤))
142 eliooord 12271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) → (𝑟 < 𝑆𝑆 < 𝑤))
143141, 142syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) → (𝑟 < 𝑆𝑆 < 𝑤))
144143simprd 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) → 𝑆 < 𝑤)
145144adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → 𝑆 < 𝑤)
146110, 128, 130, 140, 145xrlelttrd 12029 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) < 𝑤)
147 elioo1 12253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → ((𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑟(,)𝑤) ↔ ((𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ ℝ*𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∧ (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) < 𝑤)))
148112, 130, 147syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → ((𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑟(,)𝑤) ↔ ((𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ ℝ*𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∧ (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) < 𝑤)))
149110, 127, 146, 148mpbir3and 1264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑟(,)𝑤))
15091, 149sseldd 3637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑣)
151150, 109elind 3831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦))) → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)))
152151anassrs 681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)))
153152expr 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
154153ralrimiva 2995 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) → ∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
155143simpld 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) → 𝑟 < 𝑆)
1561ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) → 𝑆 = sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))), ℝ*, < ))
157155, 156breqtrd 4711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) → 𝑟 < sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))), ℝ*, < ))
15826ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) → ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))) ⊆ ℝ*)
159 supxrlub 12193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))) ⊆ ℝ*𝑟 ∈ ℝ*) → (𝑟 < sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))), ℝ*, < ) ↔ ∃𝑤 ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠)))𝑟 < 𝑤))
160158, 111, 159syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) → (𝑟 < sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))), ℝ*, < ) ↔ ∃𝑤 ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠)))𝑟 < 𝑤))
161157, 160mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) → ∃𝑤 ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠)))𝑟 < 𝑤)
162 ovex 6718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ V
163162rgenw 2953 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ V
164 reseq2 5423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑠 = 𝑧 → (𝐹𝑠) = (𝐹𝑧))
165164oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑠 = 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑠)) = (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))
166165cbvmptv 4783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))) = (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))
167 breq2 4689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑤 = (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) → (𝑟 < 𝑤𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))))
168166, 167rexrnmpt 6409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ V → (∃𝑤 ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠)))𝑟 < 𝑤 ↔ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧))))
169163, 168ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∃𝑤 ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠)))𝑟 < 𝑤 ↔ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))
170161, 169sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))
171154, 170reximddv 3047 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
172171expr 642 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*)) → ((𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)))))
173 eleq2 2719 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑢 = (𝑟(,)𝑤) → (𝑆𝑢𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤)))
174 sseq1 3659 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑢 = (𝑟(,)𝑤) → (𝑢 ⊆ (𝑣 ∩ ℝ) ↔ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))
175173, 174anbi12d 747 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑢 = (𝑟(,)𝑤) → ((𝑆𝑢𝑢 ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)) ↔ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ))))
176175imbi1d 330 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑢 = (𝑟(,)𝑤) → (((𝑆𝑢𝑢 ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)))) ↔ ((𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))))
177172, 176syl5ibrcom 237 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*)) → (𝑢 = (𝑟(,)𝑤) → ((𝑆𝑢𝑢 ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))))
178177rexlimdvva 3067 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → (∃𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ* 𝑢 = (𝑟(,)𝑤) → ((𝑆𝑢𝑢 ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))))
17987, 178syl5bi 232 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → (𝑢 ∈ ran (,) → ((𝑆𝑢𝑢 ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))))
180179rexlimdv 3059 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → (∃𝑢 ∈ ran (,)(𝑆𝑢𝑢 ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)))))
18183, 180mpd 15 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
182 simplrl 817 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) → 𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ))
183 simpr 476 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) → 𝑆 = +∞)
184 simplrr 818 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) → 𝑆𝑣)
185183, 184eqeltrrd 2731 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) → +∞ ∈ 𝑣)
186 pnfnei 21072 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ +∞ ∈ 𝑣) → ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)
187182, 185, 186syl2anc 694 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) → ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)
188 simprr 811 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) → (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)
189188ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)
1909a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → 𝐺 ∈ CMnd)
191 simprl 809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
192 simp-5l 825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → 𝜑)
193192, 12syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → 𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞))
19499ad2antrl 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → 𝑦𝐴)
195193, 194fssresd 6109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → (𝐹𝑦):𝑦⟶(0[,]+∞))
19694ad2antrl 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → 𝑦 ∈ Fin)
197 fvexd 6241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → (0g𝐺) ∈ V)
198195, 196, 197fdmfifsupp 8326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → (𝐹𝑦) finSupp (0g𝐺))
1996, 7, 190, 191, 195, 198gsumcl 18362 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (0[,]+∞))
2002, 199sseldi 3634 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ ℝ*)
201 rexr 10123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑟 ∈ ℝ → 𝑟 ∈ ℝ*)
202201ad2antrl 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) → 𝑟 ∈ ℝ*)
203202ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → 𝑟 ∈ ℝ*)
204 simplrl 817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
205 simprr 811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → 𝑧𝑦)
206205, 194sstrd 3646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → 𝑧𝐴)
207193, 206fssresd 6109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → (𝐹𝑧):𝑧⟶(0[,]+∞))
208196, 205, 117syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → 𝑧 ∈ Fin)
209207, 208, 197fdmfifsupp 8326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → (𝐹𝑧) finSupp (0g𝐺))
2106, 7, 190, 204, 207, 209gsumcl 18362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ (0[,]+∞))
2112, 210sseldi 3634 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ ℝ*)
212 simplrr 818 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))
213192, 124syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → 𝐴𝑉)
2143, 213, 193, 191, 205xrge0gsumle 22683 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ≤ (𝐺 Σg (𝐹𝑦)))
215203, 211, 200, 212, 214xrltletrd 12030 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑦)))
216 pnfge 12002 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ ℝ* → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ≤ +∞)
217200, 216syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ≤ +∞)
218 pnfxr 10130 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 +∞ ∈ ℝ*
219 elioc1 12255 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑟(,]+∞) ↔ ((𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ ℝ*𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∧ (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ≤ +∞)))
220203, 218, 219sylancl 695 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → ((𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑟(,]+∞) ↔ ((𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ ℝ*𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∧ (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ≤ +∞)))
221200, 215, 217, 220mpbir3and 1264 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑟(,]+∞))
222189, 221sseldd 3637 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑣)
223222, 199elind 3831 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧𝑦)) → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)))
224223expr 642 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
225224ralrimiva 2995 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) → ∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
226 ltpnf 11992 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑟 ∈ ℝ → 𝑟 < +∞)
227226ad2antrl 764 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) → 𝑟 < +∞)
228 simplr 807 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) → 𝑆 = +∞)
229227, 228breqtrrd 4713 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) → 𝑟 < 𝑆)
2301ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) → 𝑆 = sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))), ℝ*, < ))
231229, 230breqtrd 4711 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) → 𝑟 < sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))), ℝ*, < ))
23226ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) → ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))) ⊆ ℝ*)
233232, 202, 159syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) → (𝑟 < sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠))), ℝ*, < ) ↔ ∃𝑤 ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠)))𝑟 < 𝑤))
234231, 233mpbid 222 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) → ∃𝑤 ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑠)))𝑟 < 𝑤)
235234, 169sylib 208 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))
236225, 235reximddv 3047 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
237187, 236rexlimddv 3064 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
238 ge0nemnf 12042 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑆 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑆) → 𝑆 ≠ -∞)
23929, 63, 238syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑆 ≠ -∞)
24029, 239jca 553 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑆 ∈ ℝ*𝑆 ≠ -∞))
241240adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) → (𝑆 ∈ ℝ*𝑆 ≠ -∞))
242 xrnemnf 11989 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ ℝ*𝑆 ≠ -∞) ↔ (𝑆 ∈ ℝ ∨ 𝑆 = +∞))
243241, 242sylib 208 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) → (𝑆 ∈ ℝ ∨ 𝑆 = +∞))
244181, 237, 243mpjaodan 844 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆𝑣)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
245244expr 642 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ )) → (𝑆𝑣 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)))))
24670, 245syl5 34 . . . . . . 7 ((𝜑𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ )) → (𝑆 ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)))))
247 eleq2 2719 . . . . . . . 8 (𝑢 = (𝑣 ∩ (0[,]+∞)) → (𝑆𝑢𝑆 ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
248 eleq2 2719 . . . . . . . . . 10 (𝑢 = (𝑣 ∩ (0[,]+∞)) → ((𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢 ↔ (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
249248imbi2d 329 . . . . . . . . 9 (𝑢 = (𝑣 ∩ (0[,]+∞)) → ((𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢) ↔ (𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)))))
250249rexralbidv 3087 . . . . . . . 8 (𝑢 = (𝑣 ∩ (0[,]+∞)) → (∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢) ↔ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)))))
251247, 250imbi12d 333 . . . . . . 7 (𝑢 = (𝑣 ∩ (0[,]+∞)) → ((𝑆𝑢 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢)) ↔ (𝑆 ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))))
252246, 251syl5ibrcom 237 . . . . . 6 ((𝜑𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ )) → (𝑢 = (𝑣 ∩ (0[,]+∞)) → (𝑆𝑢 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢))))
253252rexlimdva 3060 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ )𝑢 = (𝑣 ∩ (0[,]+∞)) → (𝑆𝑢 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢))))
25469, 253syl5bi 232 . . . 4 (𝜑 → (𝑢 ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) → (𝑆𝑢 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢))))
255254ralrimiv 2994 . . 3 (𝜑 → ∀𝑢 ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))(𝑆𝑢 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢)))
256 xrstset 19813 . . . . . . 7 (ordTop‘ ≤ ) = (TopSet‘ℝ*𝑠)
2573, 256resstset 16093 . . . . . 6 ((0[,]+∞) ∈ V → (ordTop‘ ≤ ) = (TopSet‘𝐺))
25867, 257ax-mp 5 . . . . 5 (ordTop‘ ≤ ) = (TopSet‘𝐺)
2596, 258topnval 16142 . . . 4 ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) = (TopOpen‘𝐺)
260 eqid 2651 . . . 4 (𝒫 𝐴 ∩ Fin) = (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
2619a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
262 xrstps 21061 . . . . . . 7 *𝑠 ∈ TopSp
263 resstps 21039 . . . . . . 7 ((ℝ*𝑠 ∈ TopSp ∧ (0[,]+∞) ∈ V) → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ TopSp)
264262, 67, 263mp2an 708 . . . . . 6 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ TopSp
2653, 264eqeltri 2726 . . . . 5 𝐺 ∈ TopSp
266265a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ TopSp)
2676, 259, 260, 261, 266, 124, 12eltsms 21983 . . 3 (𝜑 → (𝑆 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ (𝑆 ∈ (0[,]+∞) ∧ ∀𝑢 ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))(𝑆𝑢 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢)))))
26865, 255, 267mpbir2and 977 . 2 (𝜑𝑆 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
269 letsr 17274 . . . . 5 ≤ ∈ TosetRel
270 ordthaus 21236 . . . . 5 ( ≤ ∈ TosetRel → (ordTop‘ ≤ ) ∈ Haus)
271269, 270mp1i 13 . . . 4 (𝜑 → (ordTop‘ ≤ ) ∈ Haus)
272 resthaus 21220 . . . 4 (((ordTop‘ ≤ ) ∈ Haus ∧ (0[,]+∞) ∈ V) → ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ∈ Haus)
273271, 67, 272sylancl 695 . . 3 (𝜑 → ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ∈ Haus)
2746, 261, 266, 124, 12, 259, 273haustsms2 21987 . 2 (𝜑 → (𝑆 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) → (𝐺 tsums 𝐹) = {𝑆}))
275268, 274mpd 15 1 (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) = {𝑆})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  wrex 2942  Vcvv 3231  cdif 3604  cin 3606  wss 3607  c0 3948  𝒫 cpw 4191  {csn 4210   class class class wbr 4685  cmpt 4762   × cxp 5141  ran crn 5144  cres 5145  Fun wfun 5920   Fn wfn 5921  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  Fincfn 7997  supcsup 8387  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  +∞cpnf 10109  -∞cmnf 10110  *cxr 10111   < clt 10112  cle 10113  (,)cioo 12213  (,]cioc 12214  [,]cicc 12216  Basecbs 15904  s cress 15905  TopSetcts 15994  t crest 16128  topGenctg 16145  0gc0g 16147   Σg cgsu 16148  ordTopcordt 16206  *𝑠cxrs 16207   TosetRel ctsr 17246  SubMndcsubmnd 17381  CMndccmn 18239  Topctop 20746  TopSpctps 20784  Hauscha 21160   tsums ctsu 21976
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-xadd 11985  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-hash 13158  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-ordt 16208  df-xrs 16209  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-ps 17247  df-tsr 17248  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-ntr 20872  df-nei 20950  df-cn 21079  df-haus 21167  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-tsms 21977
This theorem is referenced by:  esumval  30236  esumel  30237  esumsnf  30254
  Copyright terms: Public domain W3C validator