Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrge0tsmsbi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrge0tsmsbi 30087
Description: Any limit of a finite or infinite sum in the nonnegative extended reals is the union of the sets limits, since this set is a singleton. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
xrge0tsmseq.g 𝐺 = (ℝ*𝑠s (0[,]+∞))
xrge0tsmseq.a (𝜑𝐴𝑉)
xrge0tsmseq.f (𝜑𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞))
Assertion
Ref Expression
xrge0tsmsbi (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ 𝐶 = (𝐺 tsums 𝐹)))

Proof of Theorem xrge0tsmsbi
StepHypRef Expression
1 xrge0tsmseq.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑉)
2 xrge0tsmseq.f . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞))
3 xrge0tsmseq.g . . . . . 6 𝐺 = (ℝ*𝑠s (0[,]+∞))
43xrge0tsms2 22831 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞)) → (𝐺 tsums 𝐹) ≈ 1𝑜)
51, 2, 4syl2anc 696 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) ≈ 1𝑜)
6 en1b 8181 . . . 4 ((𝐺 tsums 𝐹) ≈ 1𝑜 ↔ (𝐺 tsums 𝐹) = { (𝐺 tsums 𝐹)})
75, 6sylib 208 . . 3 (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) = { (𝐺 tsums 𝐹)})
87eleq2d 2817 . 2 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ 𝐶 ∈ { (𝐺 tsums 𝐹)}))
9 ovex 6833 . . . . . . 7 (𝐺 tsums 𝐹) ∈ V
109uniex 7110 . . . . . 6 (𝐺 tsums 𝐹) ∈ V
11 eleq1 2819 . . . . . 6 (𝐶 = (𝐺 tsums 𝐹) → (𝐶 ∈ V ↔ (𝐺 tsums 𝐹) ∈ V))
1210, 11mpbiri 248 . . . . 5 (𝐶 = (𝐺 tsums 𝐹) → 𝐶 ∈ V)
13 elsng 4327 . . . . 5 (𝐶 ∈ V → (𝐶 ∈ { (𝐺 tsums 𝐹)} ↔ 𝐶 = (𝐺 tsums 𝐹)))
1412, 13syl 17 . . . 4 (𝐶 = (𝐺 tsums 𝐹) → (𝐶 ∈ { (𝐺 tsums 𝐹)} ↔ 𝐶 = (𝐺 tsums 𝐹)))
1514ibir 257 . . 3 (𝐶 = (𝐺 tsums 𝐹) → 𝐶 ∈ { (𝐺 tsums 𝐹)})
16 elsni 4330 . . 3 (𝐶 ∈ { (𝐺 tsums 𝐹)} → 𝐶 = (𝐺 tsums 𝐹))
1715, 16impbii 199 . 2 (𝐶 = (𝐺 tsums 𝐹) ↔ 𝐶 ∈ { (𝐺 tsums 𝐹)})
188, 17syl6bbr 278 1 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ 𝐶 = (𝐺 tsums 𝐹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196   = wceq 1624  wcel 2131  Vcvv 3332  {csn 4313   cuni 4580   class class class wbr 4796  wf 6037  (class class class)co 6805  1𝑜c1o 7714  cen 8110  0cc0 10120  +∞cpnf 10255  [,]cicc 12363  s cress 16052  *𝑠cxrs 16354   tsums ctsu 22122
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197  ax-pre-sup 10198
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-int 4620  df-iun 4666  df-iin 4667  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-se 5218  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-isom 6050  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-of 7054  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-supp 7456  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-1o 7721  df-oadd 7725  df-er 7903  df-map 8017  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-fsupp 8433  df-fi 8474  df-sup 8505  df-inf 8506  df-oi 8572  df-card 8947  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-div 10869  df-nn 11205  df-2 11263  df-3 11264  df-4 11265  df-5 11266  df-6 11267  df-7 11268  df-8 11269  df-9 11270  df-n0 11477  df-z 11562  df-dec 11678  df-uz 11872  df-q 11974  df-xadd 12132  df-ioo 12364  df-ioc 12365  df-ico 12366  df-icc 12367  df-fz 12512  df-fzo 12652  df-seq 12988  df-hash 13304  df-struct 16053  df-ndx 16054  df-slot 16055  df-base 16057  df-sets 16058  df-ress 16059  df-plusg 16148  df-mulr 16149  df-tset 16154  df-ple 16155  df-ds 16158  df-rest 16277  df-topn 16278  df-0g 16296  df-gsum 16297  df-topgen 16298  df-ordt 16355  df-xrs 16356  df-mre 16440  df-mrc 16441  df-acs 16443  df-ps 17393  df-tsr 17394  df-mgm 17435  df-sgrp 17477  df-mnd 17488  df-submnd 17529  df-cntz 17942  df-cmn 18387  df-fbas 19937  df-fg 19938  df-top 20893  df-topon 20910  df-topsp 20931  df-bases 20944  df-ntr 21018  df-nei 21096  df-cn 21225  df-haus 21313  df-fil 21843  df-fm 21935  df-flim 21936  df-flf 21937  df-tsms 22123
This theorem is referenced by:  esumcl  30393
  Copyright terms: Public domain W3C validator