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Theorem xrge0npcan 30003
Description: Extended nonnegative real version of npcan 10482. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Jun-2017.)
Assertion
Ref Expression
xrge0npcan ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵𝐴) → ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem xrge0npcan
StepHypRef Expression
1 iccssxr 12449 . . . . . . . . 9 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
2 simpl1 1228 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
31, 2sseldi 3742 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
4 simpr 479 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐵 = +∞)
5 simpl3 1232 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐵𝐴)
64, 5eqbrtrrd 4828 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) → +∞ ≤ 𝐴)
7 xgepnf 12189 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ* → (+∞ ≤ 𝐴𝐴 = +∞))
87biimpa 502 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ≤ 𝐴) → 𝐴 = +∞)
93, 6, 8syl2anc 696 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐴 = +∞)
10 xnegeq 12231 . . . . . . . 8 (𝐵 = +∞ → -𝑒𝐵 = -𝑒+∞)
114, 10syl 17 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) → -𝑒𝐵 = -𝑒+∞)
129, 11oveq12d 6831 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) = (+∞ +𝑒 -𝑒+∞))
13 pnfxr 10284 . . . . . . 7 +∞ ∈ ℝ*
14 xnegid 12262 . . . . . . 7 (+∞ ∈ ℝ* → (+∞ +𝑒 -𝑒+∞) = 0)
1513, 14ax-mp 5 . . . . . 6 (+∞ +𝑒 -𝑒+∞) = 0
1612, 15syl6eq 2810 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) = 0)
1716oveq1d 6828 . . . 4 (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) → ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 𝐵) = (0 +𝑒 𝐵))
184oveq2d 6829 . . . 4 (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) → (0 +𝑒 𝐵) = (0 +𝑒 +∞))
19 xaddid2 12266 . . . . 5 (+∞ ∈ ℝ* → (0 +𝑒 +∞) = +∞)
2013, 19mp1i 13 . . . 4 (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) → (0 +𝑒 +∞) = +∞)
2117, 18, 203eqtrd 2798 . . 3 (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) → ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 𝐵) = +∞)
2221, 9eqtr4d 2797 . 2 (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) → ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 𝐵) = 𝐴)
23 simpl1 1228 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵𝐴) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
241, 23sseldi 3742 . . . 4 (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵𝐴) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
25 xrge0neqmnf 12469 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0[,]+∞) → 𝐴 ≠ -∞)
2623, 25syl 17 . . . 4 (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵𝐴) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → 𝐴 ≠ -∞)
27 simpl2 1230 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵𝐴) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
281, 27sseldi 3742 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵𝐴) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → 𝐵 ∈ ℝ*)
2928xnegcld 12323 . . . 4 (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵𝐴) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → -𝑒𝐵 ∈ ℝ*)
30 simpr 479 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵𝐴) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → ¬ 𝐵 = +∞)
31 xnegneg 12238 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℝ* → -𝑒-𝑒𝐵 = 𝐵)
32 xnegeq 12231 . . . . . . . . 9 (-𝑒𝐵 = -∞ → -𝑒-𝑒𝐵 = -𝑒-∞)
3331, 32sylan9req 2815 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝐵 = -∞) → 𝐵 = -𝑒-∞)
34 xnegmnf 12234 . . . . . . . 8 -𝑒-∞ = +∞
3533, 34syl6eq 2810 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝐵 = -∞) → 𝐵 = +∞)
3635stoic1a 1846 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → ¬ -𝑒𝐵 = -∞)
3736neqned 2939 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → -𝑒𝐵 ≠ -∞)
3828, 30, 37syl2anc 696 . . . 4 (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵𝐴) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → -𝑒𝐵 ≠ -∞)
39 xrge0neqmnf 12469 . . . . 5 (𝐵 ∈ (0[,]+∞) → 𝐵 ≠ -∞)
4027, 39syl 17 . . . 4 (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵𝐴) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → 𝐵 ≠ -∞)
41 xaddass 12272 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (-𝑒𝐵 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞)) → ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 𝐵) = (𝐴 +𝑒 (-𝑒𝐵 +𝑒 𝐵)))
4224, 26, 29, 38, 28, 40, 41syl222anc 1493 . . 3 (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵𝐴) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 𝐵) = (𝐴 +𝑒 (-𝑒𝐵 +𝑒 𝐵)))
43 xnegcl 12237 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℝ* → -𝑒𝐵 ∈ ℝ*)
44 xaddcom 12264 . . . . . . . 8 ((-𝑒𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝐵 +𝑒 𝐵) = (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐵))
4543, 44mpancom 706 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℝ* → (-𝑒𝐵 +𝑒 𝐵) = (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐵))
46 xnegid 12262 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐵) = 0)
4745, 46eqtrd 2794 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ* → (-𝑒𝐵 +𝑒 𝐵) = 0)
4847oveq2d 6829 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐴 +𝑒 (-𝑒𝐵 +𝑒 𝐵)) = (𝐴 +𝑒 0))
49 xaddid1 12265 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 +𝑒 0) = 𝐴)
5048, 49sylan9eqr 2816 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 (-𝑒𝐵 +𝑒 𝐵)) = 𝐴)
5124, 28, 50syl2anc 696 . . 3 (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵𝐴) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → (𝐴 +𝑒 (-𝑒𝐵 +𝑒 𝐵)) = 𝐴)
5242, 51eqtrd 2794 . 2 (((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵𝐴) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 𝐵) = 𝐴)
5322, 52pm2.61dan 867 1 ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐵𝐴) → ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 𝐵) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932   class class class wbr 4804  (class class class)co 6813  0cc0 10128  +∞cpnf 10263  -∞cmnf 10264  *cxr 10265  cle 10267  -𝑒cxne 12136   +𝑒 cxad 12137  [,]cicc 12371
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-po 5187  df-so 5188  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-xneg 12139  df-xadd 12140  df-icc 12375
This theorem is referenced by:  esumle  30429  esumlef  30433  carsgclctunlem2  30690
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