Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrge0mulgnn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrge0mulgnn0 30029
 Description: The group multiple function in the extended nonnegative real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Jun-2017.)
Assertion
Ref Expression
xrge0mulgnn0 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → (𝐴(.g‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))𝐵) = (𝐴 ·e 𝐵))

Proof of Theorem xrge0mulgnn0
StepHypRef Expression
1 eqid 2771 . . 3 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠s (0[,]+∞))
2 iccssxr 12461 . . . 4 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
3 xrsbas 19977 . . . 4 * = (Base‘ℝ*𝑠)
42, 3sseqtri 3786 . . 3 (0[,]+∞) ⊆ (Base‘ℝ*𝑠)
5 eqid 2771 . . 3 (.g‘ℝ*𝑠) = (.g‘ℝ*𝑠)
6 eqid 2771 . . 3 (invg‘ℝ*𝑠) = (invg‘ℝ*𝑠)
7 xrs0 30015 . . . 4 0 = (0g‘ℝ*𝑠)
8 xrge00 30026 . . . 4 0 = (0g‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
97, 8eqtr3i 2795 . . 3 (0g‘ℝ*𝑠) = (0g‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
101, 4, 5, 6, 9ressmulgnn0 30024 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → (𝐴(.g‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))𝐵) = (𝐴(.g‘ℝ*𝑠)𝐵))
11 nn0z 11602 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ)
12 eliccxr 12465 . . 3 (𝐵 ∈ (0[,]+∞) → 𝐵 ∈ ℝ*)
13 xrsmulgzz 30018 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝐴 ·e 𝐵))
1411, 12, 13syl2an 583 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → (𝐴(.g‘ℝ*𝑠)𝐵) = (𝐴 ·e 𝐵))
1510, 14eqtrd 2805 1 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → (𝐴(.g‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))𝐵) = (𝐴 ·e 𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793  0cc0 10138  +∞cpnf 10273  ℝ*cxr 10275  ℕ0cn0 11494  ℤcz 11579   ·e cxmu 12150  [,]cicc 12383  Basecbs 16064   ↾s cress 16065  0gc0g 16308  ℝ*𝑠cxrs 16368  invgcminusg 17631  .gcmg 17748 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11495  df-z 11580  df-dec 11696  df-uz 11889  df-xneg 12151  df-xadd 12152  df-xmul 12153  df-icc 12387  df-fz 12534  df-seq 13009  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-0g 16310  df-xrs 16370  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-submnd 17544  df-minusg 17634  df-mulg 17749  df-cmn 18402 This theorem is referenced by:  esumcst  30465
 Copyright terms: Public domain W3C validator