Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrge0mulc1cn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrge0mulc1cn 30296
 Description: The operation multiplying a nonnegative real numbers by a nonnegative constant is continuous. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
xrge0mulc1cn.k 𝐽 = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
xrge0mulc1cn.f 𝐹 = (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑥 ·e 𝐶))
xrge0mulc1cn.c (𝜑𝐶 ∈ (0[,)+∞))
Assertion
Ref Expression
xrge0mulc1cn (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
Distinct variable group:   𝑥,𝐶
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem xrge0mulc1cn
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrge0mulc1cn.k . . . . . 6 𝐽 = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
2 letopon 21211 . . . . . . 7 (ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*)
3 iccssxr 12449 . . . . . . 7 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
4 resttopon 21167 . . . . . . 7 (((ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*) ∧ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*) → ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ∈ (TopOn‘(0[,]+∞)))
52, 3, 4mp2an 710 . . . . . 6 ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ∈ (TopOn‘(0[,]+∞))
61, 5eqeltri 2835 . . . . 5 𝐽 ∈ (TopOn‘(0[,]+∞))
76a1i 11 . . . 4 (𝐶 = 0 → 𝐽 ∈ (TopOn‘(0[,]+∞)))
8 0e0iccpnf 12476 . . . . 5 0 ∈ (0[,]+∞)
98a1i 11 . . . 4 (𝐶 = 0 → 0 ∈ (0[,]+∞))
10 simpl 474 . . . . . . . . 9 ((𝐶 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → 𝐶 = 0)
1110oveq2d 6829 . . . . . . . 8 ((𝐶 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑥 ·e 𝐶) = (𝑥 ·e 0))
12 simpr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → 𝑥 ∈ (0[,]+∞))
133, 12sseldi 3742 . . . . . . . . 9 ((𝐶 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
14 xmul01 12290 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑥 ·e 0) = 0)
1513, 14syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐶 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑥 ·e 0) = 0)
1611, 15eqtrd 2794 . . . . . . 7 ((𝐶 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑥 ·e 𝐶) = 0)
1716mpteq2dva 4896 . . . . . 6 (𝐶 = 0 → (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑥 ·e 𝐶)) = (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ↦ 0))
18 xrge0mulc1cn.f . . . . . 6 𝐹 = (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑥 ·e 𝐶))
19 fconstmpt 5320 . . . . . 6 ((0[,]+∞) × {0}) = (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ↦ 0)
2017, 18, 193eqtr4g 2819 . . . . 5 (𝐶 = 0 → 𝐹 = ((0[,]+∞) × {0}))
21 c0ex 10226 . . . . . 6 0 ∈ V
2221fconst2 6634 . . . . 5 (𝐹:(0[,]+∞)⟶{0} ↔ 𝐹 = ((0[,]+∞) × {0}))
2320, 22sylibr 224 . . . 4 (𝐶 = 0 → 𝐹:(0[,]+∞)⟶{0})
24 cnconst 21290 . . . 4 (((𝐽 ∈ (TopOn‘(0[,]+∞)) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘(0[,]+∞))) ∧ (0 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐹:(0[,]+∞)⟶{0})) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
257, 7, 9, 23, 24syl22anc 1478 . . 3 (𝐶 = 0 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
2625adantl 473 . 2 ((𝜑𝐶 = 0) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
27 eqid 2760 . . . . . . . . 9 (ordTop‘ ≤ ) = (ordTop‘ ≤ )
28 oveq1 6820 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ·e 𝐶) = (𝑦 ·e 𝐶))
2928cbvmptv 4902 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥 ·e 𝐶)) = (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (𝑦 ·e 𝐶))
30 id 22 . . . . . . . . 9 (𝐶 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+)
3127, 29, 30xrmulc1cn 30285 . . . . . . . 8 (𝐶 ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥 ·e 𝐶)) ∈ ((ordTop‘ ≤ ) Cn (ordTop‘ ≤ )))
32 letopuni 21213 . . . . . . . . 9 * = (ordTop‘ ≤ )
3332cnrest 21291 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥 ·e 𝐶)) ∈ ((ordTop‘ ≤ ) Cn (ordTop‘ ≤ )) ∧ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*) → ((𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥 ·e 𝐶)) ↾ (0[,]+∞)) ∈ (((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) Cn (ordTop‘ ≤ )))
3431, 3, 33sylancl 697 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ ℝ+ → ((𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥 ·e 𝐶)) ↾ (0[,]+∞)) ∈ (((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) Cn (ordTop‘ ≤ )))
35 resmpt 5607 . . . . . . . . 9 ((0[,]+∞) ⊆ ℝ* → ((𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥 ·e 𝐶)) ↾ (0[,]+∞)) = (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑥 ·e 𝐶)))
363, 35ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥 ·e 𝐶)) ↾ (0[,]+∞)) = (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑥 ·e 𝐶))
3736, 18eqtr4i 2785 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥 ·e 𝐶)) ↾ (0[,]+∞)) = 𝐹
381eqcomi 2769 . . . . . . . 8 ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) = 𝐽
3938oveq1i 6823 . . . . . . 7 (((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) Cn (ordTop‘ ≤ )) = (𝐽 Cn (ordTop‘ ≤ ))
4034, 37, 393eltr3g 2855 . . . . . 6 (𝐶 ∈ ℝ+𝐹 ∈ (𝐽 Cn (ordTop‘ ≤ )))
412a1i 11 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ ℝ+ → (ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*))
42 simpr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → 𝑥 ∈ (0[,]+∞))
43 ioorp 12444 . . . . . . . . . . . 12 (0(,)+∞) = ℝ+
44 ioossicc 12452 . . . . . . . . . . . 12 (0(,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
4543, 44eqsstr3i 3777 . . . . . . . . . . 11 + ⊆ (0[,]+∞)
46 simpl 474 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → 𝐶 ∈ ℝ+)
4745, 46sseldi 3742 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
48 ge0xmulcl 12480 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑥 ·e 𝐶) ∈ (0[,]+∞))
4942, 47, 48syl2anc 696 . . . . . . . . 9 ((𝐶 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑥 ·e 𝐶) ∈ (0[,]+∞))
5049, 18fmptd 6548 . . . . . . . 8 (𝐶 ∈ ℝ+𝐹:(0[,]+∞)⟶(0[,]+∞))
51 frn 6214 . . . . . . . 8 (𝐹:(0[,]+∞)⟶(0[,]+∞) → ran 𝐹 ⊆ (0[,]+∞))
5250, 51syl 17 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ ℝ+ → ran 𝐹 ⊆ (0[,]+∞))
533a1i 11 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ ℝ+ → (0[,]+∞) ⊆ ℝ*)
54 cnrest2 21292 . . . . . . 7 (((ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*) ∧ ran 𝐹 ⊆ (0[,]+∞) ∧ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*) → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn (ordTop‘ ≤ )) ↔ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)))))
5541, 52, 53, 54syl3anc 1477 . . . . . 6 (𝐶 ∈ ℝ+ → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn (ordTop‘ ≤ )) ↔ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)))))
5640, 55mpbid 222 . . . . 5 (𝐶 ∈ ℝ+𝐹 ∈ (𝐽 Cn ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))))
571oveq2i 6824 . . . . 5 (𝐽 Cn 𝐽) = (𝐽 Cn ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)))
5856, 57syl6eleqr 2850 . . . 4 (𝐶 ∈ ℝ+𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
5958, 43eleq2s 2857 . . 3 (𝐶 ∈ (0(,)+∞) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
6059adantl 473 . 2 ((𝜑𝐶 ∈ (0(,)+∞)) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
61 xrge0mulc1cn.c . . 3 (𝜑𝐶 ∈ (0[,)+∞))
62 0xr 10278 . . . 4 0 ∈ ℝ*
63 pnfxr 10284 . . . 4 +∞ ∈ ℝ*
64 0ltpnf 12149 . . . 4 0 < +∞
65 elicoelioo 29849 . . . 4 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 0 < +∞) → (𝐶 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐶 = 0 ∨ 𝐶 ∈ (0(,)+∞))))
6662, 63, 64, 65mp3an 1573 . . 3 (𝐶 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐶 = 0 ∨ 𝐶 ∈ (0(,)+∞)))
6761, 66sylib 208 . 2 (𝜑 → (𝐶 = 0 ∨ 𝐶 ∈ (0(,)+∞)))
6826, 60, 67mpjaodan 862 1 (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ⊆ wss 3715  {csn 4321   class class class wbr 4804   ↦ cmpt 4881   × cxp 5264  ran crn 5267   ↾ cres 5268  ⟶wf 6045  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813  0cc0 10128  +∞cpnf 10263  ℝ*cxr 10265   < clt 10266   ≤ cle 10267  ℝ+crp 12025   ·e cxmu 12138  (,)cioo 12368  [,)cico 12370  [,]cicc 12371   ↾t crest 16283  ordTopcordt 16361  TopOnctopon 20917   Cn ccn 21230 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-fi 8482  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-rp 12026  df-xneg 12139  df-xmul 12141  df-ioo 12372  df-ico 12374  df-icc 12375  df-rest 16285  df-topgen 16306  df-ordt 16363  df-ps 17401  df-tsr 17402  df-top 20901  df-topon 20918  df-bases 20952  df-cn 21233  df-cnp 21234 This theorem is referenced by:  esummulc1  30452
 Copyright terms: Public domain W3C validator