Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrge0iifmhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrge0iifmhm 30325
 Description: The defined function from the closed unit interval and the extended nonnegative reals is a monoid homomorphism. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
xrge0iifhmeo.1 𝐹 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 = 0, +∞, -(log‘𝑥)))
xrge0iifhmeo.k 𝐽 = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
Assertion
Ref Expression
xrge0iifmhm 𝐹 ∈ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)) MndHom (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
Distinct variable group:   𝑥,𝐹
Allowed substitution hint:   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem xrge0iifmhm
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2771 . . . . 5 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1))
21iistmd 30288 . . . 4 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)) ∈ TopMnd
3 tmdmnd 22099 . . . 4 (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)) ∈ TopMnd → ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)) ∈ Mnd)
42, 3ax-mp 5 . . 3 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)) ∈ Mnd
5 xrge0cmn 20003 . . . 4 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
6 cmnmnd 18415 . . . 4 ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Mnd)
75, 6ax-mp 5 . . 3 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Mnd
84, 7pm3.2i 456 . 2 (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)) ∈ Mnd ∧ (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Mnd)
9 xrge0iifhmeo.1 . . . . . 6 𝐹 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 = 0, +∞, -(log‘𝑥)))
109xrge0iifcnv 30319 . . . . 5 (𝐹:(0[,]1)–1-1-onto→(0[,]+∞) ∧ 𝐹 = (𝑦 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑦 = +∞, 0, (exp‘-𝑦))))
1110simpli 470 . . . 4 𝐹:(0[,]1)–1-1-onto→(0[,]+∞)
12 f1of 6279 . . . 4 (𝐹:(0[,]1)–1-1-onto→(0[,]+∞) → 𝐹:(0[,]1)⟶(0[,]+∞))
1311, 12ax-mp 5 . . 3 𝐹:(0[,]1)⟶(0[,]+∞)
14 xrge0iifhmeo.k . . . . 5 𝐽 = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
159, 14xrge0iifhom 30323 . . . 4 ((𝑦 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1)) → (𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = ((𝐹𝑦) +𝑒 (𝐹𝑧)))
1615rgen2a 3126 . . 3 𝑦 ∈ (0[,]1)∀𝑧 ∈ (0[,]1)(𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = ((𝐹𝑦) +𝑒 (𝐹𝑧))
179, 14xrge0iif1 30324 . . 3 (𝐹‘1) = 0
1813, 16, 173pm3.2i 1423 . 2 (𝐹:(0[,]1)⟶(0[,]+∞) ∧ ∀𝑦 ∈ (0[,]1)∀𝑧 ∈ (0[,]1)(𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = ((𝐹𝑦) +𝑒 (𝐹𝑧)) ∧ (𝐹‘1) = 0)
19 unitsscn 30282 . . . 4 (0[,]1) ⊆ ℂ
20 eqid 2771 . . . . . 6 (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
21 cnfldbas 19965 . . . . . 6 ℂ = (Base‘ℂfld)
2220, 21mgpbas 18703 . . . . 5 ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
231, 22ressbas2 16138 . . . 4 ((0[,]1) ⊆ ℂ → (0[,]1) = (Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1))))
2419, 23ax-mp 5 . . 3 (0[,]1) = (Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)))
25 xrge0base 30025 . . 3 (0[,]+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
26 cnfldex 19964 . . . . 5 fld ∈ V
27 ovex 6827 . . . . 5 (0[,]1) ∈ V
28 eqid 2771 . . . . . 6 (ℂflds (0[,]1)) = (ℂflds (0[,]1))
2928, 20mgpress 18708 . . . . 5 ((ℂfld ∈ V ∧ (0[,]1) ∈ V) → ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)) = (mulGrp‘(ℂflds (0[,]1))))
3026, 27, 29mp2an 672 . . . 4 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)) = (mulGrp‘(ℂflds (0[,]1)))
31 cnfldmul 19967 . . . . . 6 · = (.r‘ℂfld)
3228, 31ressmulr 16214 . . . . 5 ((0[,]1) ∈ V → · = (.r‘(ℂflds (0[,]1))))
3327, 32ax-mp 5 . . . 4 · = (.r‘(ℂflds (0[,]1)))
3430, 33mgpplusg 18701 . . 3 · = (+g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)))
35 xrge0plusg 30027 . . 3 +𝑒 = (+g‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
36 cnring 19983 . . . 4 fld ∈ Ring
37 1elunit 12498 . . . 4 1 ∈ (0[,]1)
38 cnfld1 19986 . . . . 5 1 = (1r‘ℂfld)
391, 21, 38ringidss 18785 . . . 4 ((ℂfld ∈ Ring ∧ (0[,]1) ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → 1 = (0g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1))))
4036, 19, 37, 39mp3an 1572 . . 3 1 = (0g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)))
41 xrge00 30026 . . 3 0 = (0g‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
4224, 25, 34, 35, 40, 41ismhm 17545 . 2 (𝐹 ∈ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)) MndHom (ℝ*𝑠s (0[,]+∞))) ↔ ((((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)) ∈ Mnd ∧ (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Mnd) ∧ (𝐹:(0[,]1)⟶(0[,]+∞) ∧ ∀𝑦 ∈ (0[,]1)∀𝑧 ∈ (0[,]1)(𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = ((𝐹𝑦) +𝑒 (𝐹𝑧)) ∧ (𝐹‘1) = 0)))
438, 18, 42mpbir2an 690 1 𝐹 ∈ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)) MndHom (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ∧ wa 382   ∧ w3a 1071   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  ∀wral 3061  Vcvv 3351   ⊆ wss 3723  ifcif 4226   ↦ cmpt 4864  ◡ccnv 5249  ⟶wf 6026  –1-1-onto→wf1o 6029  ‘cfv 6030  (class class class)co 6796  ℂcc 10140  0cc0 10142  1c1 10143   · cmul 10147  +∞cpnf 10277   ≤ cle 10281  -cneg 10473   +𝑒 cxad 12149  [,]cicc 12383  expce 14998  Basecbs 16064   ↾s cress 16065  .rcmulr 16150   ↾t crest 16289  0gc0g 16308  ordTopcordt 16367  ℝ*𝑠cxrs 16368  Mndcmnd 17502   MndHom cmhm 17541  CMndccmn 18400  mulGrpcmgp 18697  Ringcrg 18755  ℂfldccnfld 19961  TopMndctmd 22094  logclog 24522 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-inf2 8706  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219  ax-pre-sup 10220  ax-addf 10221  ax-mulf 10222 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-iin 4658  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-se 5210  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-isom 6039  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-of 7048  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-supp 7451  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-2o 7718  df-oadd 7721  df-er 7900  df-map 8015  df-pm 8016  df-ixp 8067  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-fsupp 8436  df-fi 8477  df-sup 8508  df-inf 8509  df-oi 8575  df-card 8969  df-cda 9196  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-div 10891  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-4 11287  df-5 11288  df-6 11289  df-7 11290  df-8 11291  df-9 11292  df-n0 11500  df-z 11585  df-dec 11701  df-uz 11894  df-q 11997  df-rp 12036  df-xneg 12151  df-xadd 12152  df-xmul 12153  df-ioo 12384  df-ioc 12385  df-ico 12386  df-icc 12387  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-mod 12877  df-seq 13009  df-exp 13068  df-fac 13265  df-bc 13294  df-hash 13322  df-shft 14015  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-limsup 14410  df-clim 14427  df-rlim 14428  df-sum 14625  df-ef 15004  df-sin 15006  df-cos 15007  df-pi 15009  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-starv 16164  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-unif 16173  df-hom 16174  df-cco 16175  df-rest 16291  df-topn 16292  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-topgen 16312  df-pt 16313  df-prds 16316  df-xrs 16370  df-qtop 16375  df-imas 16376  df-xps 16378  df-mre 16454  df-mrc 16455  df-acs 16457  df-plusf 17449  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-mhm 17543  df-submnd 17544  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-sbg 17635  df-mulg 17749  df-subg 17799  df-cntz 17957  df-cmn 18402  df-abl 18403  df-mgp 18698  df-ur 18710  df-ring 18757  df-cring 18758  df-subrg 18988  df-abv 19027  df-lmod 19075  df-scaf 19076  df-sra 19387  df-rgmod 19388  df-psmet 19953  df-xmet 19954  df-met 19955  df-bl 19956  df-mopn 19957  df-fbas 19958  df-fg 19959  df-cnfld 19962  df-top 20919  df-topon 20936  df-topsp 20958  df-bases 20971  df-cld 21044  df-ntr 21045  df-cls 21046  df-nei 21123  df-lp 21161  df-perf 21162  df-cn 21252  df-cnp 21253  df-haus 21340  df-tx 21586  df-hmeo 21779  df-fil 21870  df-fm 21962  df-flim 21963  df-flf 21964  df-tmd 22096  df-tgp 22097  df-trg 22183  df-xms 22345  df-ms 22346  df-tms 22347  df-nm 22607  df-ngp 22608  df-nrg 22610  df-nlm 22611  df-cncf 22901  df-limc 23850  df-dv 23851  df-log 24524 This theorem is referenced by:  xrge0tmd  30332
 Copyright terms: Public domain W3C validator