Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrge0iifiso Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrge0iifiso 29966
Description: The defined bijection from the closed unit interval and the extended nonnegative reals is an order isomorphism. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Mar-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
xrge0iifhmeo.1 𝐹 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 = 0, +∞, -(log‘𝑥)))
Assertion
Ref Expression
xrge0iifiso 𝐹 Isom < , < ((0[,]1), (0[,]+∞))
Distinct variable group:   𝑥,𝐹

Proof of Theorem xrge0iifiso
Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccssxr 12253 . . 3 (0[,]1) ⊆ ℝ*
2 xrltso 11971 . . 3 < Or ℝ*
3 soss 5051 . . 3 ((0[,]1) ⊆ ℝ* → ( < Or ℝ* → < Or (0[,]1)))
41, 2, 3mp2 9 . 2 < Or (0[,]1)
5 iccssxr 12253 . . 3 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
6 cnvso 5672 . . . . 5 ( < Or ℝ* < Or ℝ*)
72, 6mpbi 220 . . . 4 < Or ℝ*
8 sopo 5050 . . . 4 ( < Or ℝ* < Po ℝ*)
97, 8ax-mp 5 . . 3 < Po ℝ*
10 poss 5035 . . 3 ((0[,]+∞) ⊆ ℝ* → ( < Po ℝ* < Po (0[,]+∞)))
115, 9, 10mp2 9 . 2 < Po (0[,]+∞)
12 xrge0iifhmeo.1 . . . . 5 𝐹 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 = 0, +∞, -(log‘𝑥)))
1312xrge0iifcnv 29964 . . . 4 (𝐹:(0[,]1)–1-1-onto→(0[,]+∞) ∧ 𝐹 = (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑧 = +∞, 0, (exp‘-𝑧))))
1413simpli 474 . . 3 𝐹:(0[,]1)–1-1-onto→(0[,]+∞)
15 f1ofo 6142 . . 3 (𝐹:(0[,]1)–1-1-onto→(0[,]+∞) → 𝐹:(0[,]1)–onto→(0[,]+∞))
1614, 15ax-mp 5 . 2 𝐹:(0[,]1)–onto→(0[,]+∞)
17 0xr 10083 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
18 1re 10036 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
1918rexri 10094 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ*
20 0le1 10548 . . . . . . . 8 0 ≤ 1
21 snunioc 12297 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 1) → ({0} ∪ (0(,]1)) = (0[,]1))
2217, 19, 20, 21mp3an 1423 . . . . . . 7 ({0} ∪ (0(,]1)) = (0[,]1)
2322eleq2i 2692 . . . . . 6 (𝑤 ∈ ({0} ∪ (0(,]1)) ↔ 𝑤 ∈ (0[,]1))
24 elun 3751 . . . . . 6 (𝑤 ∈ ({0} ∪ (0(,]1)) ↔ (𝑤 ∈ {0} ∨ 𝑤 ∈ (0(,]1)))
2523, 24bitr3i 266 . . . . 5 (𝑤 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑤 ∈ {0} ∨ 𝑤 ∈ (0(,]1)))
26 velsn 4191 . . . . . . 7 (𝑤 ∈ {0} ↔ 𝑤 = 0)
27 elunitrn 29928 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ (0[,]1) → 𝑧 ∈ ℝ)
2827adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 0 < 𝑧) → 𝑧 ∈ ℝ)
29 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 0 < 𝑧) → 0 < 𝑧)
30 0re 10037 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ ℝ
3130, 18elicc2i 12236 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑧𝑧 ≤ 1))
3231simp3bi 1077 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ (0[,]1) → 𝑧 ≤ 1)
3332adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 0 < 𝑧) → 𝑧 ≤ 1)
34 elioc2 12233 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (0(,]1) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑧𝑧 ≤ 1)))
3517, 18, 34mp2an 708 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ (0(,]1) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑧𝑧 ≤ 1))
3628, 29, 33, 35syl3anbrc 1245 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 0 < 𝑧) → 𝑧 ∈ (0(,]1))
37 pnfxr 10089 . . . . . . . . . . . . . . 15 +∞ ∈ ℝ*
38 0le0 11107 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ≤ 0
39 ltpnf 11951 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 ∈ ℝ → 1 < +∞)
4018, 39ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 < +∞
41 iocssioo 12260 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 0 ∧ 1 < +∞)) → (0(,]1) ⊆ (0(,)+∞))
4217, 37, 38, 40, 41mp4an 709 . . . . . . . . . . . . . 14 (0(,]1) ⊆ (0(,)+∞)
43 ioorp 12248 . . . . . . . . . . . . . 14 (0(,)+∞) = ℝ+
4442, 43sseqtri 3635 . . . . . . . . . . . . 13 (0(,]1) ⊆ ℝ+
4544sseli 3597 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ (0(,]1) → 𝑧 ∈ ℝ+)
46 relogcl 24316 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ ℝ+ → (log‘𝑧) ∈ ℝ)
4746renegcld 10454 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ ℝ+ → -(log‘𝑧) ∈ ℝ)
48 ltpnf 11951 . . . . . . . . . . . . . 14 (-(log‘𝑧) ∈ ℝ → -(log‘𝑧) < +∞)
4947, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ ℝ+ → -(log‘𝑧) < +∞)
50 brcnvg 5301 . . . . . . . . . . . . . 14 ((+∞ ∈ ℝ* ∧ -(log‘𝑧) ∈ ℝ) → (+∞ < -(log‘𝑧) ↔ -(log‘𝑧) < +∞))
5137, 47, 50sylancr 695 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ ℝ+ → (+∞ < -(log‘𝑧) ↔ -(log‘𝑧) < +∞))
5249, 51mpbird 247 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ ℝ+ → +∞ < -(log‘𝑧))
5345, 52syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ (0(,]1) → +∞ < -(log‘𝑧))
5412xrge0iifcv 29965 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ (0(,]1) → (𝐹𝑧) = -(log‘𝑧))
5553, 54breqtrrd 4679 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (0(,]1) → +∞ < (𝐹𝑧))
5636, 55syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 0 < 𝑧) → +∞ < (𝐹𝑧))
5756ex 450 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (0[,]1) → (0 < 𝑧 → +∞ < (𝐹𝑧)))
58 breq1 4654 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 0 → (𝑤 < 𝑧 ↔ 0 < 𝑧))
59 fveq2 6189 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = 0 → (𝐹𝑤) = (𝐹‘0))
60 0elunit 12287 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ (0[,]1)
61 iftrue 4090 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 0 → if(𝑥 = 0, +∞, -(log‘𝑥)) = +∞)
62 pnfex 10090 . . . . . . . . . . . . 13 +∞ ∈ V
6361, 12, 62fvmpt 6280 . . . . . . . . . . . 12 (0 ∈ (0[,]1) → (𝐹‘0) = +∞)
6460, 63ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (𝐹‘0) = +∞
6559, 64syl6eq 2671 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 0 → (𝐹𝑤) = +∞)
6665breq1d 4661 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 0 → ((𝐹𝑤) < (𝐹𝑧) ↔ +∞ < (𝐹𝑧)))
6758, 66imbi12d 334 . . . . . . . 8 (𝑤 = 0 → ((𝑤 < 𝑧 → (𝐹𝑤) < (𝐹𝑧)) ↔ (0 < 𝑧 → +∞ < (𝐹𝑧))))
6857, 67syl5ibr 236 . . . . . . 7 (𝑤 = 0 → (𝑧 ∈ (0[,]1) → (𝑤 < 𝑧 → (𝐹𝑤) < (𝐹𝑧))))
6926, 68sylbi 207 . . . . . 6 (𝑤 ∈ {0} → (𝑧 ∈ (0[,]1) → (𝑤 < 𝑧 → (𝐹𝑤) < (𝐹𝑧))))
70 simpll 790 . . . . . . . . 9 (((𝑤 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑤 < 𝑧) → 𝑤 ∈ (0(,]1))
7127ad2antlr 763 . . . . . . . . . 10 (((𝑤 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑤 < 𝑧) → 𝑧 ∈ ℝ)
7230a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝑤 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑤 < 𝑧) → 0 ∈ ℝ)
7344sseli 3597 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 ∈ (0(,]1) → 𝑤 ∈ ℝ+)
7473rpred 11869 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 ∈ (0(,]1) → 𝑤 ∈ ℝ)
7574ad2antrr 762 . . . . . . . . . . 11 (((𝑤 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑤 < 𝑧) → 𝑤 ∈ ℝ)
76 elioc2 12233 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑤 ∈ (0(,]1) ↔ (𝑤 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑤𝑤 ≤ 1)))
7717, 18, 76mp2an 708 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 ∈ (0(,]1) ↔ (𝑤 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑤𝑤 ≤ 1))
7877simp2bi 1076 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 ∈ (0(,]1) → 0 < 𝑤)
7978ad2antrr 762 . . . . . . . . . . 11 (((𝑤 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑤 < 𝑧) → 0 < 𝑤)
80 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 (((𝑤 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑤 < 𝑧) → 𝑤 < 𝑧)
8172, 75, 71, 79, 80lttrd 10195 . . . . . . . . . 10 (((𝑤 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑤 < 𝑧) → 0 < 𝑧)
8232ad2antlr 763 . . . . . . . . . 10 (((𝑤 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑤 < 𝑧) → 𝑧 ≤ 1)
8371, 81, 82, 35syl3anbrc 1245 . . . . . . . . 9 (((𝑤 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑤 < 𝑧) → 𝑧 ∈ (0(,]1))
8470, 83jca 554 . . . . . . . 8 (((𝑤 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑤 < 𝑧) → (𝑤 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑧 ∈ (0(,]1)))
8573adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑤 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑧 ∈ (0(,]1)) → 𝑤 ∈ ℝ+)
8685relogcld 24363 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑤 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑧 ∈ (0(,]1)) → (log‘𝑤) ∈ ℝ)
8745adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑤 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑧 ∈ (0(,]1)) → 𝑧 ∈ ℝ+)
8887relogcld 24363 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑤 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑧 ∈ (0(,]1)) → (log‘𝑧) ∈ ℝ)
8986, 88ltnegd 10602 . . . . . . . . . . 11 ((𝑤 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑧 ∈ (0(,]1)) → ((log‘𝑤) < (log‘𝑧) ↔ -(log‘𝑧) < -(log‘𝑤)))
90 logltb 24340 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑤 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+) → (𝑤 < 𝑧 ↔ (log‘𝑤) < (log‘𝑧)))
9173, 45, 90syl2an 494 . . . . . . . . . . 11 ((𝑤 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑧 ∈ (0(,]1)) → (𝑤 < 𝑧 ↔ (log‘𝑤) < (log‘𝑧)))
92 negex 10276 . . . . . . . . . . . . 13 -(log‘𝑤) ∈ V
93 negex 10276 . . . . . . . . . . . . 13 -(log‘𝑧) ∈ V
9492, 93brcnv 5303 . . . . . . . . . . . 12 (-(log‘𝑤) < -(log‘𝑧) ↔ -(log‘𝑧) < -(log‘𝑤))
9594a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑤 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑧 ∈ (0(,]1)) → (-(log‘𝑤) < -(log‘𝑧) ↔ -(log‘𝑧) < -(log‘𝑤)))
9689, 91, 953bitr4d 300 . . . . . . . . . 10 ((𝑤 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑧 ∈ (0(,]1)) → (𝑤 < 𝑧 ↔ -(log‘𝑤) < -(log‘𝑧)))
9796biimpd 219 . . . . . . . . 9 ((𝑤 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑧 ∈ (0(,]1)) → (𝑤 < 𝑧 → -(log‘𝑤) < -(log‘𝑧)))
9812xrge0iifcv 29965 . . . . . . . . . 10 (𝑤 ∈ (0(,]1) → (𝐹𝑤) = -(log‘𝑤))
9998, 54breqan12d 4667 . . . . . . . . 9 ((𝑤 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑧 ∈ (0(,]1)) → ((𝐹𝑤) < (𝐹𝑧) ↔ -(log‘𝑤) < -(log‘𝑧)))
10097, 99sylibrd 249 . . . . . . . 8 ((𝑤 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑧 ∈ (0(,]1)) → (𝑤 < 𝑧 → (𝐹𝑤) < (𝐹𝑧)))
10184, 80, 100sylc 65 . . . . . . 7 (((𝑤 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑤 < 𝑧) → (𝐹𝑤) < (𝐹𝑧))
102101exp31 630 . . . . . 6 (𝑤 ∈ (0(,]1) → (𝑧 ∈ (0[,]1) → (𝑤 < 𝑧 → (𝐹𝑤) < (𝐹𝑧))))
10369, 102jaoi 394 . . . . 5 ((𝑤 ∈ {0} ∨ 𝑤 ∈ (0(,]1)) → (𝑧 ∈ (0[,]1) → (𝑤 < 𝑧 → (𝐹𝑤) < (𝐹𝑧))))
10425, 103sylbi 207 . . . 4 (𝑤 ∈ (0[,]1) → (𝑧 ∈ (0[,]1) → (𝑤 < 𝑧 → (𝐹𝑤) < (𝐹𝑧))))
105104imp 445 . . 3 ((𝑤 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1)) → (𝑤 < 𝑧 → (𝐹𝑤) < (𝐹𝑧)))
106105rgen2a 2976 . 2 𝑤 ∈ (0[,]1)∀𝑧 ∈ (0[,]1)(𝑤 < 𝑧 → (𝐹𝑤) < (𝐹𝑧))
107 soisoi 6575 . 2 ((( < Or (0[,]1) ∧ < Po (0[,]+∞)) ∧ (𝐹:(0[,]1)–onto→(0[,]+∞) ∧ ∀𝑤 ∈ (0[,]1)∀𝑧 ∈ (0[,]1)(𝑤 < 𝑧 → (𝐹𝑤) < (𝐹𝑧)))) → 𝐹 Isom < , < ((0[,]1), (0[,]+∞)))
1084, 11, 16, 106, 107mp4an 709 1 𝐹 Isom < , < ((0[,]1), (0[,]+∞))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384  w3a 1037   = wceq 1482  wcel 1989  wral 2911  cun 3570  wss 3572  ifcif 4084  {csn 4175   class class class wbr 4651  cmpt 4727   Po wpo 5031   Or wor 5032  ccnv 5111  ontowfo 5884  1-1-ontowf1o 5885  cfv 5886   Isom wiso 5887  (class class class)co 6647  cr 9932  0cc0 9933  1c1 9934  +∞cpnf 10068  *cxr 10070   < clt 10071  cle 10072  -cneg 10264  +crp 11829  (,)cioo 12172  (,]cioc 12173  [,]cicc 12175  expce 14786  logclog 24295
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4769  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-inf2 8535  ax-cnex 9989  ax-resscn 9990  ax-1cn 9991  ax-icn 9992  ax-addcl 9993  ax-addrcl 9994  ax-mulcl 9995  ax-mulrcl 9996  ax-mulcom 9997  ax-addass 9998  ax-mulass 9999  ax-distr 10000  ax-i2m1 10001  ax-1ne0 10002  ax-1rid 10003  ax-rnegex 10004  ax-rrecex 10005  ax-cnre 10006  ax-pre-lttri 10007  ax-pre-lttrn 10008  ax-pre-ltadd 10009  ax-pre-mulgt0 10010  ax-pre-sup 10011  ax-addf 10012  ax-mulf 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-fal 1488  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rmo 2919  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-pss 3588  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-tp 4180  df-op 4182  df-uni 4435  df-int 4474  df-iun 4520  df-iin 4521  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-tr 4751  df-id 5022  df-eprel 5027  df-po 5033  df-so 5034  df-fr 5071  df-se 5072  df-we 5073  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-pred 5678  df-ord 5724  df-on 5725  df-lim 5726  df-suc 5727  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-isom 5895  df-riota 6608  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-of 6894  df-om 7063  df-1st 7165  df-2nd 7166  df-supp 7293  df-wrecs 7404  df-recs 7465  df-rdg 7503  df-1o 7557  df-2o 7558  df-oadd 7561  df-er 7739  df-map 7856  df-pm 7857  df-ixp 7906  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-fin 7956  df-fsupp 8273  df-fi 8314  df-sup 8345  df-inf 8346  df-oi 8412  df-card 8762  df-cda 8987  df-pnf 10073  df-mnf 10074  df-xr 10075  df-ltxr 10076  df-le 10077  df-sub 10265  df-neg 10266  df-div 10682  df-nn 11018  df-2 11076  df-3 11077  df-4 11078  df-5 11079  df-6 11080  df-7 11081  df-8 11082  df-9 11083  df-n0 11290  df-z 11375  df-dec 11491  df-uz 11685  df-q 11786  df-rp 11830  df-xneg 11943  df-xadd 11944  df-xmul 11945  df-ioo 12176  df-ioc 12177  df-ico 12178  df-icc 12179  df-fz 12324  df-fzo 12462  df-fl 12588  df-mod 12664  df-seq 12797  df-exp 12856  df-fac 13056  df-bc 13085  df-hash 13113  df-shft 13801  df-cj 13833  df-re 13834  df-im 13835  df-sqrt 13969  df-abs 13970  df-limsup 14196  df-clim 14213  df-rlim 14214  df-sum 14411  df-ef 14792  df-sin 14794  df-cos 14795  df-pi 14797  df-struct 15853  df-ndx 15854  df-slot 15855  df-base 15857  df-sets 15858  df-ress 15859  df-plusg 15948  df-mulr 15949  df-starv 15950  df-sca 15951  df-vsca 15952  df-ip 15953  df-tset 15954  df-ple 15955  df-ds 15958  df-unif 15959  df-hom 15960  df-cco 15961  df-rest 16077  df-topn 16078  df-0g 16096  df-gsum 16097  df-topgen 16098  df-pt 16099  df-prds 16102  df-xrs 16156  df-qtop 16161  df-imas 16162  df-xps 16164  df-mre 16240  df-mrc 16241  df-acs 16243  df-mgm 17236  df-sgrp 17278  df-mnd 17289  df-submnd 17330  df-mulg 17535  df-cntz 17744  df-cmn 18189  df-psmet 19732  df-xmet 19733  df-met 19734  df-bl 19735  df-mopn 19736  df-fbas 19737  df-fg 19738  df-cnfld 19741  df-top 20693  df-topon 20710  df-topsp 20731  df-bases 20744  df-cld 20817  df-ntr 20818  df-cls 20819  df-nei 20896  df-lp 20934  df-perf 20935  df-cn 21025  df-cnp 21026  df-haus 21113  df-tx 21359  df-hmeo 21552  df-fil 21644  df-fm 21736  df-flim 21737  df-flf 21738  df-xms 22119  df-ms 22120  df-tms 22121  df-cncf 22675  df-limc 23624  df-dv 23625  df-log 24297
This theorem is referenced by:  xrge0iifhmeo  29967
  Copyright terms: Public domain W3C validator