Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrge0iifcv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrge0iifcv 30320
Description: The defined function's value in the real. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Apr-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
xrge0iifhmeo.1 𝐹 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 = 0, +∞, -(log‘𝑥)))
Assertion
Ref Expression
xrge0iifcv (𝑋 ∈ (0(,]1) → (𝐹𝑋) = -(log‘𝑋))
Distinct variable group:   𝑥,𝑋
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem xrge0iifcv
StepHypRef Expression
1 iocssicc 12467 . . . 4 (0(,]1) ⊆ (0[,]1)
21sseli 3748 . . 3 (𝑋 ∈ (0(,]1) → 𝑋 ∈ (0[,]1))
3 eqeq1 2775 . . . . 5 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 = 0 ↔ 𝑋 = 0))
4 fveq2 6332 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → (log‘𝑥) = (log‘𝑋))
54negeqd 10477 . . . . 5 (𝑥 = 𝑋 → -(log‘𝑥) = -(log‘𝑋))
63, 5ifbieq2d 4250 . . . 4 (𝑥 = 𝑋 → if(𝑥 = 0, +∞, -(log‘𝑥)) = if(𝑋 = 0, +∞, -(log‘𝑋)))
7 xrge0iifhmeo.1 . . . 4 𝐹 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 = 0, +∞, -(log‘𝑥)))
8 pnfex 10295 . . . . 5 +∞ ∈ V
9 negex 10481 . . . . 5 -(log‘𝑋) ∈ V
108, 9ifex 4295 . . . 4 if(𝑋 = 0, +∞, -(log‘𝑋)) ∈ V
116, 7, 10fvmpt 6424 . . 3 (𝑋 ∈ (0[,]1) → (𝐹𝑋) = if(𝑋 = 0, +∞, -(log‘𝑋)))
122, 11syl 17 . 2 (𝑋 ∈ (0(,]1) → (𝐹𝑋) = if(𝑋 = 0, +∞, -(log‘𝑋)))
13 0xr 10288 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ*
14 1re 10241 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
15 elioc2 12441 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ (0(,]1) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑋𝑋 ≤ 1)))
1613, 14, 15mp2an 672 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (0(,]1) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑋𝑋 ≤ 1))
1716simp2bi 1140 . . . . 5 (𝑋 ∈ (0(,]1) → 0 < 𝑋)
1817gt0ne0d 10794 . . . 4 (𝑋 ∈ (0(,]1) → 𝑋 ≠ 0)
1918neneqd 2948 . . 3 (𝑋 ∈ (0(,]1) → ¬ 𝑋 = 0)
2019iffalsed 4236 . 2 (𝑋 ∈ (0(,]1) → if(𝑋 = 0, +∞, -(log‘𝑋)) = -(log‘𝑋))
2112, 20eqtrd 2805 1 (𝑋 ∈ (0(,]1) → (𝐹𝑋) = -(log‘𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  ifcif 4225   class class class wbr 4786  cmpt 4863  cfv 6031  (class class class)co 6793  cr 10137  0cc0 10138  1c1 10139  +∞cpnf 10273  *cxr 10275   < clt 10276  cle 10277  -cneg 10469  (,]cioc 12381  [,]cicc 12383  logclog 24522
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-po 5170  df-so 5171  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-neg 10471  df-ioc 12385  df-icc 12387
This theorem is referenced by:  xrge0iifiso  30321  xrge0iifhom  30323
  Copyright terms: Public domain W3C validator