MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrge0cmn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrge0cmn 19836
Description: The nonnegative extended real numbers are a monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xrge0cmn (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd

Proof of Theorem xrge0cmn
StepHypRef Expression
1 eqid 2651 . . 3 (ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})) = (ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞}))
21xrs1cmn 19834 . 2 (ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})) ∈ CMnd
31xrge0subm 19835 . . 3 (0[,]+∞) ∈ (SubMnd‘(ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})))
4 xrex 11867 . . . . . . 7 * ∈ V
5 difss 3770 . . . . . . 7 (ℝ* ∖ {-∞}) ⊆ ℝ*
64, 5ssexi 4836 . . . . . 6 (ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V
7 xrsbas 19810 . . . . . . . . . 10 * = (Base‘ℝ*𝑠)
81, 7ressbas2 15978 . . . . . . . . 9 ((ℝ* ∖ {-∞}) ⊆ ℝ* → (ℝ* ∖ {-∞}) = (Base‘(ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞}))))
95, 8ax-mp 5 . . . . . . . 8 (ℝ* ∖ {-∞}) = (Base‘(ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})))
109submss 17397 . . . . . . 7 ((0[,]+∞) ∈ (SubMnd‘(ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞}))) → (0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞}))
113, 10ax-mp 5 . . . . . 6 (0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞})
12 ressabs 15986 . . . . . 6 (((ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V ∧ (0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞})) → ((ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})) ↾s (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
136, 11, 12mp2an 708 . . . . 5 ((ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})) ↾s (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠s (0[,]+∞))
1413eqcomi 2660 . . . 4 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) = ((ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})) ↾s (0[,]+∞))
1514submmnd 17401 . . 3 ((0[,]+∞) ∈ (SubMnd‘(ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞}))) → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Mnd)
163, 15ax-mp 5 . 2 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Mnd
1714subcmn 18288 . 2 (((ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})) ∈ CMnd ∧ (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Mnd) → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd)
182, 16, 17mp2an 708 1 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1523  wcel 2030  Vcvv 3231  cdif 3604  wss 3607  {csn 4210  cfv 5926  (class class class)co 6690  0cc0 9974  +∞cpnf 10109  -∞cmnf 10110  *cxr 10111  [,]cicc 12216  Basecbs 15904  s cress 15905  *𝑠cxrs 16207  Mndcmnd 17341  SubMndcsubmnd 17381  CMndccmn 18239
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-xadd 11985  df-icc 12220  df-fz 12365  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-0g 16149  df-xrs 16209  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-cmn 18241
This theorem is referenced by:  xrge0gsumle  22683  xrge0tsms  22684  xrge00  29814  xrge0omnd  29839  xrge0tsmsd  29913  xrge0slmod  29972  xrge0iifmhm  30113  xrge0tmdOLD  30119  esumcl  30220  esumgsum  30235  esum0  30239  esumf1o  30240  esumsplit  30243  esumadd  30247  gsumesum  30249  esumlub  30250  esumaddf  30251  esumsnf  30254  esumss  30262  esumpfinval  30265  esumpfinvalf  30266  esumcocn  30270  esum2d  30283  sitmcl  30541  gsumge0cl  40906  sge0tsms  40915
  Copyright terms: Public domain W3C validator