Theorem xreqle 39949

Description: Equality implies 'less than or equal to'. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
xreqle	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐵)

Proof of Theorem xreqle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrleid 12097	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → 𝐴 ≤ 𝐴)
2	1	adantr 472	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐴)
3		simpr 479	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
4		breq2 4764	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ≤ 𝐴 ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))
5	4	biimpac 504	. 2 ⊢ ((𝐴 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐵)
6	2, 3, 5	syl2anc 696	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1596   ∈ wcel 2103   class class class wbr 4760  ℝ^*cxr 10186   ≤ cle 10188

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-op 4292  df-uni 4545  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-id 5128  df-po 5139  df-so 5140  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-er 7862  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193

This theorem is referenced by:  xreqled  39961  sge0split  41046