Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xreqle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xreqle 39949
Description: Equality implies 'less than or equal to'. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
xreqle ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 = 𝐵) → 𝐴𝐵)

Proof of Theorem xreqle
StepHypRef Expression
1 xrleid 12097 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ*𝐴𝐴)
21adantr 472 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 = 𝐵) → 𝐴𝐴)
3 simpr 479 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 = 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
4 breq2 4764 . . 3 (𝐴 = 𝐵 → (𝐴𝐴𝐴𝐵))
54biimpac 504 . 2 ((𝐴𝐴𝐴 = 𝐵) → 𝐴𝐵)
62, 3, 5syl2anc 696 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 = 𝐵) → 𝐴𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1596  wcel 2103   class class class wbr 4760  *cxr 10186  cle 10188
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-op 4292  df-uni 4545  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-id 5128  df-po 5139  df-so 5140  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-er 7862  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193
This theorem is referenced by:  xreqled  39961  sge0split  41046
  Copyright terms: Public domain W3C validator