Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xralrple3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xralrple3 40106
Description: Show that 𝐴 is less than 𝐵 by showing that there is no positive bound on the difference. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
xralrple3.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
xralrple3.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
xralrple3.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
xralrple3.g (𝜑 → 0 ≤ 𝐶)
Assertion
Ref Expression
xralrple3 (𝜑 → (𝐴𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥

Proof of Theorem xralrple3
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xralrple3.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
21ad2antrr 764 . . . . 5 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ*)
3 xralrple3.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
43rexrd 10301 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
54ad2antrr 764 . . . . 5 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ*)
63ad2antrr 764 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
7 xralrple3.c . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
87ad2antrr 764 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ)
9 rpre 12052 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
109adantl 473 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ)
118, 10remulcld 10282 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐶 · 𝑥) ∈ ℝ)
126, 11readdcld 10281 . . . . . 6 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐵 + (𝐶 · 𝑥)) ∈ ℝ)
1312rexrd 10301 . . . . 5 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐵 + (𝐶 · 𝑥)) ∈ ℝ*)
14 simplr 809 . . . . 5 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐴𝐵)
157adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ)
169adantl 473 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ)
17 xralrple3.g . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ 𝐶)
1817adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 0 ≤ 𝐶)
19 rpge0 12058 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝑥)
2019adantl 473 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 0 ≤ 𝑥)
2115, 16, 18, 20mulge0d 10816 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (𝐶 · 𝑥))
223adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
2315, 16remulcld 10282 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐶 · 𝑥) ∈ ℝ)
2422, 23addge01d 10827 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (0 ≤ (𝐶 · 𝑥) ↔ 𝐵 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))))
2521, 24mpbid 222 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐵 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥)))
2625adantlr 753 . . . . 5 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐵 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥)))
272, 5, 13, 14, 26xrletrd 12206 . . . 4 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥)))
2827ralrimiva 3104 . . 3 ((𝜑𝐴𝐵) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥)))
2928ex 449 . 2 (𝜑 → (𝐴𝐵 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))))
30 1rp 12049 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ+
31 oveq2 6822 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 1 → (𝐶 · 𝑥) = (𝐶 · 1))
3231oveq2d 6830 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 1 → (𝐵 + (𝐶 · 𝑥)) = (𝐵 + (𝐶 · 1)))
3332breq2d 4816 . . . . . . . 8 (𝑥 = 1 → (𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥)) ↔ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 1))))
3433rspcva 3447 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) → 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 1)))
3530, 34mpan 708 . . . . . 6 (∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥)) → 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 1)))
3635ad2antlr 765 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) ∧ 𝐶 = 0) → 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 1)))
37 oveq1 6821 . . . . . . . . . 10 (𝐶 = 0 → (𝐶 · 1) = (0 · 1))
38 0cn 10244 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℂ
3938mulid1i 10254 . . . . . . . . . . 11 (0 · 1) = 0
4039a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐶 = 0 → (0 · 1) = 0)
4137, 40eqtrd 2794 . . . . . . . . 9 (𝐶 = 0 → (𝐶 · 1) = 0)
4241oveq2d 6830 . . . . . . . 8 (𝐶 = 0 → (𝐵 + (𝐶 · 1)) = (𝐵 + 0))
4342adantl 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝐶 = 0) → (𝐵 + (𝐶 · 1)) = (𝐵 + 0))
443recnd 10280 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
4544adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐶 = 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
4645addid1d 10448 . . . . . . 7 ((𝜑𝐶 = 0) → (𝐵 + 0) = 𝐵)
4743, 46eqtrd 2794 . . . . . 6 ((𝜑𝐶 = 0) → (𝐵 + (𝐶 · 1)) = 𝐵)
4847adantlr 753 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) ∧ 𝐶 = 0) → (𝐵 + (𝐶 · 1)) = 𝐵)
4936, 48breqtrd 4830 . . . 4 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) ∧ 𝐶 = 0) → 𝐴𝐵)
50 neqne 2940 . . . . . . . 8 𝐶 = 0 → 𝐶 ≠ 0)
5150adantl 473 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 = 0) → 𝐶 ≠ 0)
527adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐶 ≠ 0) → 𝐶 ∈ ℝ)
53 0red 10253 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐶 ≠ 0) → 0 ∈ ℝ)
5417adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐶 ≠ 0) → 0 ≤ 𝐶)
55 simpr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐶 ≠ 0) → 𝐶 ≠ 0)
5653, 52, 54, 55leneltd 10403 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐶 ≠ 0) → 0 < 𝐶)
5752, 56elrpd 12082 . . . . . . 7 ((𝜑𝐶 ≠ 0) → 𝐶 ∈ ℝ+)
5851, 57syldan 488 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 = 0) → 𝐶 ∈ ℝ+)
5958adantlr 753 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) ∧ ¬ 𝐶 = 0) → 𝐶 ∈ ℝ+)
60 simpr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐶 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℝ+)
61 simpl 474 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐶 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ+)
6260, 61rpdivcld 12102 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑦 / 𝐶) ∈ ℝ+)
6362adantll 752 . . . . . . . . . 10 (((∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥)) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑦 / 𝐶) ∈ ℝ+)
64 simpll 807 . . . . . . . . . 10 (((∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥)) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥)))
65 oveq2 6822 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝑦 / 𝐶) → (𝐶 · 𝑥) = (𝐶 · (𝑦 / 𝐶)))
6665oveq2d 6830 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑦 / 𝐶) → (𝐵 + (𝐶 · 𝑥)) = (𝐵 + (𝐶 · (𝑦 / 𝐶))))
6766breq2d 4816 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑦 / 𝐶) → (𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥)) ↔ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · (𝑦 / 𝐶)))))
6867rspcva 3447 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 / 𝐶) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) → 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · (𝑦 / 𝐶))))
6963, 64, 68syl2anc 696 . . . . . . . . 9 (((∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥)) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · (𝑦 / 𝐶))))
7069adantlll 756 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · (𝑦 / 𝐶))))
7160rpcnd 12087 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℂ)
7261rpcnd 12087 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℂ)
7361rpne0d 12090 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐶 ≠ 0)
7471, 72, 73divcan2d 11015 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+) → (𝐶 · (𝑦 / 𝐶)) = 𝑦)
7574adantll 752 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝐶 · (𝑦 / 𝐶)) = 𝑦)
7675oveq2d 6830 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝐵 + (𝐶 · (𝑦 / 𝐶))) = (𝐵 + 𝑦))
7770, 76breqtrd 4830 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑦))
7877ralrimiva 3104 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ∀𝑦 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑦))
79 xralrple 12249 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑦)))
801, 3, 79syl2anc 696 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴𝐵 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑦)))
8180ad2antrr 764 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴𝐵 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑦)))
8278, 81mpbird 247 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐴𝐵)
8359, 82syldan 488 . . . 4 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) ∧ ¬ 𝐶 = 0) → 𝐴𝐵)
8449, 83pm2.61dan 867 . . 3 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) → 𝐴𝐵)
8584ex 449 . 2 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥)) → 𝐴𝐵))
8629, 85impbid 202 1 (𝜑 → (𝐴𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  wral 3050   class class class wbr 4804  (class class class)co 6814  cc 10146  cr 10147  0cc0 10148  1c1 10149   + caddc 10151   · cmul 10153  *cxr 10285  cle 10287   / cdiv 10896  +crp 12045
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-sup 8515  df-inf 8516  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-q 12002  df-rp 12046
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator