Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xralrple2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xralrple2 39985
Description: Show that 𝐴 is less than 𝐵 by showing that there is no positive bound on the difference. A variant on xralrple 12150. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
xralrple2.x 𝑥𝜑
xralrple2.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
xralrple2.b (𝜑𝐵 ∈ (0[,)+∞))
Assertion
Ref Expression
xralrple2 (𝜑 → (𝐴𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem xralrple2
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xralrple2.x . . . . 5 𝑥𝜑
2 nfv 1956 . . . . 5 𝑥 𝐴𝐵
31, 2nfan 1941 . . . 4 𝑥(𝜑𝐴𝐵)
4 xralrple2.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
54ad2antrr 764 . . . . . 6 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ*)
6 icossxr 12372 . . . . . . 7 (0[,)+∞) ⊆ ℝ*
7 xralrple2.b . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ (0[,)+∞))
87ad2antrr 764 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
96, 8sseldi 3707 . . . . . 6 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ*)
10 1red 10168 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℝ)
11 rpre 11953 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
1211adantl 473 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ)
1310, 12readdcld 10182 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (1 + 𝑥) ∈ ℝ)
14 rge0ssre 12394 . . . . . . . . . . 11 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
1514, 7sseldi 3707 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
1615adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
1713, 16remulcld 10183 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((1 + 𝑥) · 𝐵) ∈ ℝ)
1817rexrd 10202 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((1 + 𝑥) · 𝐵) ∈ ℝ*)
1918adantlr 753 . . . . . 6 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((1 + 𝑥) · 𝐵) ∈ ℝ*)
20 simplr 809 . . . . . 6 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐴𝐵)
2115ad2antrr 764 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
22 1red 10168 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ+ → 1 ∈ ℝ)
2322, 11readdcld 10182 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ+ → (1 + 𝑥) ∈ ℝ)
2423adantl 473 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1 + 𝑥) ∈ ℝ)
25 0xr 10199 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ*
2625a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ (0[,)+∞) → 0 ∈ ℝ*)
27 pnfxr 10205 . . . . . . . . . . 11 +∞ ∈ ℝ*
2827a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ (0[,)+∞) → +∞ ∈ ℝ*)
29 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ (0[,)+∞) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
30 icogelb 12339 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → 0 ≤ 𝐵)
3126, 28, 29, 30syl3anc 1439 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ (0[,)+∞) → 0 ≤ 𝐵)
327, 31syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
3332ad2antrr 764 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 0 ≤ 𝐵)
34 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+)
3522, 34ltaddrpd 12019 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ+ → 1 < (1 + 𝑥))
3622, 23, 35ltled 10298 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ+ → 1 ≤ (1 + 𝑥))
3736adantl 473 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 1 ≤ (1 + 𝑥))
3821, 24, 33, 37lemulge12d 11075 . . . . . 6 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐵 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵))
395, 9, 19, 20, 38xrletrd 12107 . . . . 5 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵))
4039ex 449 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐵) → (𝑥 ∈ ℝ+𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)))
413, 40ralrimi 3059 . . 3 ((𝜑𝐴𝐵) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵))
4241ex 449 . 2 (𝜑 → (𝐴𝐵 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)))
434ad3antrrr 768 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝐵 = 0) → 𝐴 ∈ ℝ*)
44 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 = 0 → 𝐵 = 0)
45 0red 10154 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 = 0 → 0 ∈ ℝ)
4644, 45eqeltrd 2803 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 = 0 → 𝐵 ∈ ℝ)
4746adantl 473 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℝ+𝐵 = 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
48 rpre 11953 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ)
4948adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℝ+𝐵 = 0) → 𝑦 ∈ ℝ)
5047, 49readdcld 10182 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℝ+𝐵 = 0) → (𝐵 + 𝑦) ∈ ℝ)
5150rexrd 10202 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℝ+𝐵 = 0) → (𝐵 + 𝑦) ∈ ℝ*)
5251adantll 752 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐵 + 𝑦) ∈ ℝ*)
5325a1i 11 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝐵 = 0) → 0 ∈ ℝ*)
54 1rp 11950 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℝ+
5554a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵) → 1 ∈ ℝ+)
56 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵))
57 oveq2 6773 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 1 → (1 + 𝑥) = (1 + 1))
5857oveq1d 6780 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 1 → ((1 + 𝑥) · 𝐵) = ((1 + 1) · 𝐵))
5958breq2d 4772 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 1 → (𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵) ↔ 𝐴 ≤ ((1 + 1) · 𝐵)))
6059rspcva 3411 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) → 𝐴 ≤ ((1 + 1) · 𝐵))
6155, 56, 60syl2anc 696 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵) → 𝐴 ≤ ((1 + 1) · 𝐵))
62 1p1e2 11247 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 + 1) = 2
6362a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵) → (1 + 1) = 2)
6463oveq1d 6780 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵) → ((1 + 1) · 𝐵) = (2 · 𝐵))
6561, 64breqtrd 4786 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵) → 𝐴 ≤ (2 · 𝐵))
6665adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵) ∧ 𝐵 = 0) → 𝐴 ≤ (2 · 𝐵))
67 simpr 479 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵) ∧ 𝐵 = 0) → 𝐵 = 0)
68 simpl 474 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ≤ (2 · 𝐵) ∧ 𝐵 = 0) → 𝐴 ≤ (2 · 𝐵))
69 oveq2 6773 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 = 0 → (2 · 𝐵) = (2 · 0))
70 2cnd 11206 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵 = 0 → 2 ∈ ℂ)
7170mul01d 10348 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 = 0 → (2 · 0) = 0)
7269, 71eqtrd 2758 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 = 0 → (2 · 𝐵) = 0)
7372adantl 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ≤ (2 · 𝐵) ∧ 𝐵 = 0) → (2 · 𝐵) = 0)
7468, 73breqtrd 4786 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ≤ (2 · 𝐵) ∧ 𝐵 = 0) → 𝐴 ≤ 0)
7566, 67, 74syl2anc 696 . . . . . . . . 9 ((∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵) ∧ 𝐵 = 0) → 𝐴 ≤ 0)
7675ad4ant24 1189 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝐵 = 0) → 𝐴 ≤ 0)
77 rpgt0 11958 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑦)
7877adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℝ+𝐵 = 0) → 0 < 𝑦)
79 oveq1 6772 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 = 0 → (𝐵 + 𝑦) = (0 + 𝑦))
8079adantl 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℝ+𝐵 = 0) → (𝐵 + 𝑦) = (0 + 𝑦))
8148recnd 10181 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℂ)
8281adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℝ+𝐵 = 0) → 𝑦 ∈ ℂ)
8382addid2d 10350 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℝ+𝐵 = 0) → (0 + 𝑦) = 𝑦)
8480, 83eqtr2d 2759 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℝ+𝐵 = 0) → 𝑦 = (𝐵 + 𝑦))
8578, 84breqtrd 4786 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℝ+𝐵 = 0) → 0 < (𝐵 + 𝑦))
8685adantll 752 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝐵 = 0) → 0 < (𝐵 + 𝑦))
8743, 53, 52, 76, 86xrlelttrd 12105 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝐵 = 0) → 𝐴 < (𝐵 + 𝑦))
8843, 52, 87xrltled 39902 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝐵 = 0) → 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑦))
89 simpl 474 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ¬ 𝐵 = 0) → ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+))
9015adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
91 0red 10154 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 0) → 0 ∈ ℝ)
9232adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 0) → 0 ≤ 𝐵)
9344necon3bi 2922 . . . . . . . . . . 11 𝐵 = 0 → 𝐵 ≠ 0)
9493adantl 473 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 0) → 𝐵 ≠ 0)
9591, 90, 92, 94leneltd 10304 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 0) → 0 < 𝐵)
9690, 95elrpd 11983 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 0) → 𝐵 ∈ ℝ+)
9796ad4ant14 1185 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ¬ 𝐵 = 0) → 𝐵 ∈ ℝ+)
98 simplr 809 . . . . . . . . . . 11 (((∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℝ+)
99 simpr 479 . . . . . . . . . . 11 (((∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ+)
10098, 99rpdivcld 12003 . . . . . . . . . 10 (((∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝑦 / 𝐵) ∈ ℝ+)
101 simpll 807 . . . . . . . . . 10 (((∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵))
102 oveq2 6773 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝑦 / 𝐵) → (1 + 𝑥) = (1 + (𝑦 / 𝐵)))
103102oveq1d 6780 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑦 / 𝐵) → ((1 + 𝑥) · 𝐵) = ((1 + (𝑦 / 𝐵)) · 𝐵))
104103breq2d 4772 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑦 / 𝐵) → (𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵) ↔ 𝐴 ≤ ((1 + (𝑦 / 𝐵)) · 𝐵)))
105104rspcva 3411 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 / 𝐵) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) → 𝐴 ≤ ((1 + (𝑦 / 𝐵)) · 𝐵))
106100, 101, 105syl2anc 696 . . . . . . . . 9 (((∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐴 ≤ ((1 + (𝑦 / 𝐵)) · 𝐵))
107106adantlll 756 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐴 ≤ ((1 + (𝑦 / 𝐵)) · 𝐵))
108 1cnd 10169 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℂ)
10981adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℂ)
110 rpcn 11955 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ)
111110adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℂ)
112 rpne0 11962 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∈ ℝ+𝐵 ≠ 0)
113112adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐵 ≠ 0)
114109, 111, 113divcld 10914 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) → (𝑦 / 𝐵) ∈ ℂ)
115108, 114, 111adddird 10178 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) → ((1 + (𝑦 / 𝐵)) · 𝐵) = ((1 · 𝐵) + ((𝑦 / 𝐵) · 𝐵)))
116111mulid2d 10171 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) → (1 · 𝐵) = 𝐵)
117109, 111, 113divcan1d 10915 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝑦 / 𝐵) · 𝐵) = 𝑦)
118116, 117oveq12d 6783 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) → ((1 · 𝐵) + ((𝑦 / 𝐵) · 𝐵)) = (𝐵 + 𝑦))
119 eqidd 2725 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐵 + 𝑦) = (𝐵 + 𝑦))
120115, 118, 1193eqtrd 2762 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) → ((1 + (𝑦 / 𝐵)) · 𝐵) = (𝐵 + 𝑦))
121120adantll 752 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((1 + (𝑦 / 𝐵)) · 𝐵) = (𝐵 + 𝑦))
122107, 121breqtrd 4786 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑦))
12389, 97, 122syl2anc 696 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ¬ 𝐵 = 0) → 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑦))
12488, 123pm2.61dan 867 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑦))
125124ralrimiva 3068 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) → ∀𝑦 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑦))
126 xralrple 12150 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑦)))
1274, 15, 126syl2anc 696 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝐵 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑦)))
128127adantr 472 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) → (𝐴𝐵 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑦)))
129125, 128mpbird 247 . . 3 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) → 𝐴𝐵)
130129ex 449 . 2 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵) → 𝐴𝐵))
13142, 130impbid 202 1 (𝜑 → (𝐴𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1596  wnf 1821  wcel 2103  wne 2896  wral 3014   class class class wbr 4760  (class class class)co 6765  cc 10047  cr 10048  0cc0 10049  1c1 10050   + caddc 10052   · cmul 10054  +∞cpnf 10184  *cxr 10186   < clt 10187  cle 10188   / cdiv 10797  2c2 11183  +crp 11946  [,)cico 12291
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126  ax-pre-sup 10127
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-er 7862  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-sup 8464  df-inf 8465  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-div 10798  df-nn 11134  df-2 11192  df-n0 11406  df-z 11491  df-uz 11801  df-q 11903  df-rp 11947  df-ico 12295
This theorem is referenced by:  hoidmvlelem5  41236
  Copyright terms: Public domain W3C validator