MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xralrple Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xralrple 12241
Description: Show that 𝐴 is less than 𝐵 by showing that there is no positive bound on the difference. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
xralrple ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem xralrple
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpge0 12048 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝑥)
21adantl 467 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 0 ≤ 𝑥)
3 simplr 752 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
4 rpre 12042 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
54adantl 467 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ)
63, 5addge01d 10817 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (0 ≤ 𝑥𝐵 ≤ (𝐵 + 𝑥)))
72, 6mpbid 222 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐵 ≤ (𝐵 + 𝑥))
8 simpll 750 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ*)
93rexrd 10291 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ*)
103, 5readdcld 10271 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐵 + 𝑥) ∈ ℝ)
1110rexrd 10291 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐵 + 𝑥) ∈ ℝ*)
12 xrletr 12194 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 + 𝑥) ∈ ℝ*) → ((𝐴𝐵𝐵 ≤ (𝐵 + 𝑥)) → 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥)))
138, 9, 11, 12syl3anc 1476 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝐴𝐵𝐵 ≤ (𝐵 + 𝑥)) → 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥)))
147, 13mpan2d 674 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐴𝐵𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥)))
1514ralrimdva 3118 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥)))
16 rexr 10287 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
1716adantl 467 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ*)
18 simpl 468 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ*)
19 qbtwnxr 12236 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*𝐵 < 𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℚ (𝐵 < 𝑦𝑦 < 𝐴))
20193expia 1114 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐵 < 𝐴 → ∃𝑦 ∈ ℚ (𝐵 < 𝑦𝑦 < 𝐴)))
2117, 18, 20syl2anc 573 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴 → ∃𝑦 ∈ ℚ (𝐵 < 𝑦𝑦 < 𝐴)))
22 simprrl 766 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ (𝐵 < 𝑦𝑦 < 𝐴))) → 𝐵 < 𝑦)
23 simplr 752 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ (𝐵 < 𝑦𝑦 < 𝐴))) → 𝐵 ∈ ℝ)
24 qre 11996 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℚ → 𝑦 ∈ ℝ)
2524ad2antrl 707 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ (𝐵 < 𝑦𝑦 < 𝐴))) → 𝑦 ∈ ℝ)
26 difrp 12071 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝑦 ↔ (𝑦𝐵) ∈ ℝ+))
2723, 25, 26syl2anc 573 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ (𝐵 < 𝑦𝑦 < 𝐴))) → (𝐵 < 𝑦 ↔ (𝑦𝐵) ∈ ℝ+))
2822, 27mpbid 222 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ (𝐵 < 𝑦𝑦 < 𝐴))) → (𝑦𝐵) ∈ ℝ+)
29 simprrr 767 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ (𝐵 < 𝑦𝑦 < 𝐴))) → 𝑦 < 𝐴)
3025rexrd 10291 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ (𝐵 < 𝑦𝑦 < 𝐴))) → 𝑦 ∈ ℝ*)
31 simpll 750 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ (𝐵 < 𝑦𝑦 < 𝐴))) → 𝐴 ∈ ℝ*)
32 xrltnle 10307 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (𝑦 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴𝑦))
3330, 31, 32syl2anc 573 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ (𝐵 < 𝑦𝑦 < 𝐴))) → (𝑦 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴𝑦))
3429, 33mpbid 222 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ (𝐵 < 𝑦𝑦 < 𝐴))) → ¬ 𝐴𝑦)
3523recnd 10270 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ (𝐵 < 𝑦𝑦 < 𝐴))) → 𝐵 ∈ ℂ)
3625recnd 10270 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ (𝐵 < 𝑦𝑦 < 𝐴))) → 𝑦 ∈ ℂ)
3735, 36pncan3d 10597 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ (𝐵 < 𝑦𝑦 < 𝐴))) → (𝐵 + (𝑦𝐵)) = 𝑦)
3837breq2d 4798 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ (𝐵 < 𝑦𝑦 < 𝐴))) → (𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑦𝐵)) ↔ 𝐴𝑦))
3934, 38mtbird 314 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ (𝐵 < 𝑦𝑦 < 𝐴))) → ¬ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑦𝐵)))
40 oveq2 6801 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑦𝐵) → (𝐵 + 𝑥) = (𝐵 + (𝑦𝐵)))
4140breq2d 4798 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑦𝐵) → (𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥) ↔ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑦𝐵))))
4241notbid 307 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑦𝐵) → (¬ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥) ↔ ¬ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑦𝐵))))
4342rspcev 3460 . . . . . . . 8 (((𝑦𝐵) ∈ ℝ+ ∧ ¬ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑦𝐵))) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ¬ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥))
4428, 39, 43syl2anc 573 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ (𝐵 < 𝑦𝑦 < 𝐴))) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ¬ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥))
45 rexnal 3143 . . . . . . 7 (∃𝑥 ∈ ℝ+ ¬ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥))
4644, 45sylib 208 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ (𝐵 < 𝑦𝑦 < 𝐴))) → ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥))
4746rexlimdvaa 3180 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (∃𝑦 ∈ ℚ (𝐵 < 𝑦𝑦 < 𝐴) → ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥)))
4821, 47syld 47 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴 → ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥)))
4948con2d 131 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥) → ¬ 𝐵 < 𝐴))
50 xrlenlt 10305 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
5116, 50sylan2 580 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
5249, 51sylibrd 249 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥) → 𝐴𝐵))
5315, 52impbid 202 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wral 3061  wrex 3062   class class class wbr 4786  (class class class)co 6793  cr 10137  0cc0 10138   + caddc 10141  *cxr 10275   < clt 10276  cle 10277  cmin 10468  cq 11991  +crp 12035
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-sup 8504  df-inf 8505  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-q 11992  df-rp 12036
This theorem is referenced by:  alrple  12242  ovollb2  23477  ovolun  23487  ovoliun  23493  ovolscalem2  23502  nulmbl2  23524  omssubadd  30702  xrlexaddrp  40084  xralrple2  40086  xralrple4  40105  xralrple3  40106  xrralrecnnle  40118  carageniuncl  41257
  Copyright terms: Public domain W3C validator