MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpsxmetlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xpsxmetlem 22406
Description: Lemma for xpsxmet 22407. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xpsds.t 𝑇 = (𝑅 ×s 𝑆)
xpsds.x 𝑋 = (Base‘𝑅)
xpsds.y 𝑌 = (Base‘𝑆)
xpsds.1 (𝜑𝑅𝑉)
xpsds.2 (𝜑𝑆𝑊)
xpsds.p 𝑃 = (dist‘𝑇)
xpsds.m 𝑀 = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋))
xpsds.n 𝑁 = ((dist‘𝑆) ↾ (𝑌 × 𝑌))
xpsds.3 (𝜑𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
xpsds.4 (𝜑𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌))
Assertion
Ref Expression
xpsxmetlem (𝜑 → (dist‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆}))) ∈ (∞Met‘ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥   𝑥,𝑅   𝑥,𝑆   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦   𝑥,𝑊
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝑃(𝑥,𝑦)   𝑅(𝑦)   𝑆(𝑦)   𝑇(𝑥,𝑦)   𝑀(𝑦)   𝑁(𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑊(𝑦)

Proof of Theorem xpsxmetlem
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2761 . . 3 ((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2𝑜 ↦ (({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))) = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2𝑜 ↦ (({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)))
2 eqid 2761 . . 3 (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2𝑜 ↦ (({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)))) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2𝑜 ↦ (({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))))
3 eqid 2761 . . 3 (Base‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) = (Base‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))
4 eqid 2761 . . 3 ((dist‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) ↾ ((Base‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) × (Base‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)))) = ((dist‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) ↾ ((Base‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) × (Base‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))))
5 eqid 2761 . . 3 (dist‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2𝑜 ↦ (({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)))) = (dist‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2𝑜 ↦ (({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))))
6 fvexd 6366 . . 3 (𝜑 → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
7 2on 7740 . . . 4 2𝑜 ∈ On
87a1i 11 . . 3 (𝜑 → 2𝑜 ∈ On)
9 fvexd 6366 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ 2𝑜) → (({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘) ∈ V)
10 elpri 4343 . . . . 5 (𝑘 ∈ {∅, 1𝑜} → (𝑘 = ∅ ∨ 𝑘 = 1𝑜))
11 df2o3 7745 . . . . 5 2𝑜 = {∅, 1𝑜}
1210, 11eleq2s 2858 . . . 4 (𝑘 ∈ 2𝑜 → (𝑘 = ∅ ∨ 𝑘 = 1𝑜))
13 xpsds.3 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
1413adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 = ∅) → 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
15 fveq2 6354 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = ∅ → (({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘) = (({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘∅))
16 xpsds.1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅𝑉)
17 xpsc0 16443 . . . . . . . . . . 11 (𝑅𝑉 → (({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘∅) = 𝑅)
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘∅) = 𝑅)
1915, 18sylan9eqr 2817 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 = ∅) → (({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘) = 𝑅)
2019fveq2d 6358 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 = ∅) → (dist‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) = (dist‘𝑅))
2119fveq2d 6358 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 = ∅) → (Base‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) = (Base‘𝑅))
22 xpsds.x . . . . . . . . . 10 𝑋 = (Base‘𝑅)
2321, 22syl6eqr 2813 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 = ∅) → (Base‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) = 𝑋)
2423sqxpeqd 5299 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 = ∅) → ((Base‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) × (Base‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))) = (𝑋 × 𝑋))
2520, 24reseq12d 5553 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 = ∅) → ((dist‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) ↾ ((Base‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) × (Base‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)))) = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋)))
26 xpsds.m . . . . . . 7 𝑀 = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋))
2725, 26syl6eqr 2813 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 = ∅) → ((dist‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) ↾ ((Base‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) × (Base‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)))) = 𝑀)
2823fveq2d 6358 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 = ∅) → (∞Met‘(Base‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))) = (∞Met‘𝑋))
2914, 27, 283eltr4d 2855 . . . . 5 ((𝜑𝑘 = ∅) → ((dist‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) ↾ ((Base‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) × (Base‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)))) ∈ (∞Met‘(Base‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))))
30 xpsds.4 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌))
3130adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 = 1𝑜) → 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌))
32 fveq2 6354 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 1𝑜 → (({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘) = (({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘1𝑜))
33 xpsds.2 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆𝑊)
34 xpsc1 16444 . . . . . . . . . . 11 (𝑆𝑊 → (({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘1𝑜) = 𝑆)
3533, 34syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘1𝑜) = 𝑆)
3632, 35sylan9eqr 2817 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 = 1𝑜) → (({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘) = 𝑆)
3736fveq2d 6358 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 = 1𝑜) → (dist‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) = (dist‘𝑆))
3836fveq2d 6358 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 = 1𝑜) → (Base‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) = (Base‘𝑆))
39 xpsds.y . . . . . . . . . 10 𝑌 = (Base‘𝑆)
4038, 39syl6eqr 2813 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 = 1𝑜) → (Base‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) = 𝑌)
4140sqxpeqd 5299 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 = 1𝑜) → ((Base‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) × (Base‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))) = (𝑌 × 𝑌))
4237, 41reseq12d 5553 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 = 1𝑜) → ((dist‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) ↾ ((Base‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) × (Base‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)))) = ((dist‘𝑆) ↾ (𝑌 × 𝑌)))
43 xpsds.n . . . . . . 7 𝑁 = ((dist‘𝑆) ↾ (𝑌 × 𝑌))
4442, 43syl6eqr 2813 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 = 1𝑜) → ((dist‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) ↾ ((Base‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) × (Base‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)))) = 𝑁)
4540fveq2d 6358 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 = 1𝑜) → (∞Met‘(Base‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))) = (∞Met‘𝑌))
4631, 44, 453eltr4d 2855 . . . . 5 ((𝜑𝑘 = 1𝑜) → ((dist‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) ↾ ((Base‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) × (Base‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)))) ∈ (∞Met‘(Base‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))))
4729, 46jaodan 861 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑘 = ∅ ∨ 𝑘 = 1𝑜)) → ((dist‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) ↾ ((Base‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) × (Base‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)))) ∈ (∞Met‘(Base‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))))
4812, 47sylan2 492 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ 2𝑜) → ((dist‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) ↾ ((Base‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) × (Base‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)))) ∈ (∞Met‘(Base‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))))
491, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 48prdsxmet 22396 . 2 (𝜑 → (dist‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2𝑜 ↦ (({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)))) ∈ (∞Met‘(Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2𝑜 ↦ (({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))))))
50 xpscfn 16442 . . . . . 6 ((𝑅𝑉𝑆𝑊) → ({𝑅} +𝑐 {𝑆}) Fn 2𝑜)
5116, 33, 50syl2anc 696 . . . . 5 (𝜑({𝑅} +𝑐 {𝑆}) Fn 2𝑜)
52 dffn5 6405 . . . . 5 (({𝑅} +𝑐 {𝑆}) Fn 2𝑜({𝑅} +𝑐 {𝑆}) = (𝑘 ∈ 2𝑜 ↦ (({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)))
5351, 52sylib 208 . . . 4 (𝜑({𝑅} +𝑐 {𝑆}) = (𝑘 ∈ 2𝑜 ↦ (({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)))
5453oveq2d 6831 . . 3 (𝜑 → ((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆})) = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2𝑜 ↦ (({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))))
5554fveq2d 6358 . 2 (𝜑 → (dist‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆}))) = (dist‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2𝑜 ↦ (({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)))))
56 xpsds.t . . . . 5 𝑇 = (𝑅 ×s 𝑆)
57 eqid 2761 . . . . 5 (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})) = (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))
58 eqid 2761 . . . . 5 (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
59 eqid 2761 . . . . 5 ((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆})) = ((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆}))
6056, 22, 39, 16, 33, 57, 58, 59xpslem 16456 . . . 4 (𝜑 → ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆}))))
6154fveq2d 6358 . . . 4 (𝜑 → (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆}))) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2𝑜 ↦ (({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)))))
6260, 61eqtrd 2795 . . 3 (𝜑 → ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2𝑜 ↦ (({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)))))
6362fveq2d 6358 . 2 (𝜑 → (∞Met‘ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))) = (∞Met‘(Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2𝑜 ↦ (({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))))))
6449, 55, 633eltr4d 2855 1 (𝜑 → (dist‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆}))) ∈ (∞Met‘ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 382  wa 383   = wceq 1632  wcel 2140  Vcvv 3341  c0 4059  {csn 4322  {cpr 4324  cmpt 4882   × cxp 5265  ccnv 5266  ran crn 5268  cres 5269  Oncon0 5885   Fn wfn 6045  cfv 6050  (class class class)co 6815  cmpt2 6817  1𝑜c1o 7724  2𝑜c2o 7725   +𝑐 ccda 9202  Basecbs 16080  Scalarcsca 16167  distcds 16173  Xscprds 16329   ×s cxps 16389  ∞Metcxmt 19954
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226  ax-pre-sup 10227
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-int 4629  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-om 7233  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-1o 7731  df-2o 7732  df-oadd 7735  df-er 7914  df-map 8028  df-ixp 8078  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-fin 8128  df-sup 8516  df-cda 9203  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-div 10898  df-nn 11234  df-2 11292  df-3 11293  df-4 11294  df-5 11295  df-6 11296  df-7 11297  df-8 11298  df-9 11299  df-n0 11506  df-z 11591  df-dec 11707  df-uz 11901  df-rp 12047  df-xneg 12160  df-xadd 12161  df-xmul 12162  df-icc 12396  df-fz 12541  df-struct 16082  df-ndx 16083  df-slot 16084  df-base 16086  df-plusg 16177  df-mulr 16178  df-sca 16180  df-vsca 16181  df-ip 16182  df-tset 16183  df-ple 16184  df-ds 16187  df-hom 16189  df-cco 16190  df-prds 16331  df-xmet 19962
This theorem is referenced by:  xpsxmet  22407  xpsdsval  22408
  Copyright terms: Public domain W3C validator