Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpstopnlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xpstopnlem2 21662
 Description: Lemma for xpstopn 21663. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xpstps.t 𝑇 = (𝑅 ×s 𝑆)
xpstopn.j 𝐽 = (TopOpen‘𝑅)
xpstopn.k 𝐾 = (TopOpen‘𝑆)
xpstopn.o 𝑂 = (TopOpen‘𝑇)
xpstopnlem.x 𝑋 = (Base‘𝑅)
xpstopnlem.y 𝑌 = (Base‘𝑆)
xpstopnlem.f 𝐹 = (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))
Assertion
Ref Expression
xpstopnlem2 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → 𝑂 = (𝐽 ×t 𝐾))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐽   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑇(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝑂(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem xpstopnlem2
StepHypRef Expression
1 eqid 2651 . . . . 5 ((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆})) = ((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆}))
2 fvexd 6241 . . . . 5 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
3 2on 7613 . . . . . 6 2𝑜 ∈ On
43a1i 11 . . . . 5 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → 2𝑜 ∈ On)
5 xpscfn 16266 . . . . 5 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → ({𝑅} +𝑐 {𝑆}) Fn 2𝑜)
6 eqid 2651 . . . . 5 (TopOpen‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆}))) = (TopOpen‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆})))
71, 2, 4, 5, 6prdstopn 21479 . . . 4 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → (TopOpen‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆}))) = (∏t‘(TopOpen ∘ ({𝑅} +𝑐 {𝑆}))))
8 topnfn 16133 . . . . . . . 8 TopOpen Fn V
9 dffn2 6085 . . . . . . . . 9 (({𝑅} +𝑐 {𝑆}) Fn 2𝑜({𝑅} +𝑐 {𝑆}):2𝑜⟶V)
105, 9sylib 208 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → ({𝑅} +𝑐 {𝑆}):2𝑜⟶V)
11 fnfco 6107 . . . . . . . 8 ((TopOpen Fn V ∧ ({𝑅} +𝑐 {𝑆}):2𝑜⟶V) → (TopOpen ∘ ({𝑅} +𝑐 {𝑆})) Fn 2𝑜)
128, 10, 11sylancr 696 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → (TopOpen ∘ ({𝑅} +𝑐 {𝑆})) Fn 2𝑜)
13 xpsfeq 16271 . . . . . . 7 ((TopOpen ∘ ({𝑅} +𝑐 {𝑆})) Fn 2𝑜({((TopOpen ∘ ({𝑅} +𝑐 {𝑆}))‘∅)} +𝑐 {((TopOpen ∘ ({𝑅} +𝑐 {𝑆}))‘1𝑜)}) = (TopOpen ∘ ({𝑅} +𝑐 {𝑆})))
1412, 13syl 17 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → ({((TopOpen ∘ ({𝑅} +𝑐 {𝑆}))‘∅)} +𝑐 {((TopOpen ∘ ({𝑅} +𝑐 {𝑆}))‘1𝑜)}) = (TopOpen ∘ ({𝑅} +𝑐 {𝑆})))
15 0ex 4823 . . . . . . . . . . . . 13 ∅ ∈ V
1615prid1 4329 . . . . . . . . . . . 12 ∅ ∈ {∅, 1𝑜}
17 df2o3 7618 . . . . . . . . . . . 12 2𝑜 = {∅, 1𝑜}
1816, 17eleqtrri 2729 . . . . . . . . . . 11 ∅ ∈ 2𝑜
19 fvco2 6312 . . . . . . . . . . 11 ((({𝑅} +𝑐 {𝑆}) Fn 2𝑜 ∧ ∅ ∈ 2𝑜) → ((TopOpen ∘ ({𝑅} +𝑐 {𝑆}))‘∅) = (TopOpen‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘∅)))
205, 18, 19sylancl 695 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → ((TopOpen ∘ ({𝑅} +𝑐 {𝑆}))‘∅) = (TopOpen‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘∅)))
21 xpsc0 16267 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ TopSp → (({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘∅) = 𝑅)
2221adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → (({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘∅) = 𝑅)
2322fveq2d 6233 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → (TopOpen‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘∅)) = (TopOpen‘𝑅))
24 xpstopn.j . . . . . . . . . . 11 𝐽 = (TopOpen‘𝑅)
2523, 24syl6eqr 2703 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → (TopOpen‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘∅)) = 𝐽)
2620, 25eqtrd 2685 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → ((TopOpen ∘ ({𝑅} +𝑐 {𝑆}))‘∅) = 𝐽)
2726sneqd 4222 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → {((TopOpen ∘ ({𝑅} +𝑐 {𝑆}))‘∅)} = {𝐽})
28 1on 7612 . . . . . . . . . . . . . 14 1𝑜 ∈ On
2928elexi 3244 . . . . . . . . . . . . 13 1𝑜 ∈ V
3029prid2 4330 . . . . . . . . . . . 12 1𝑜 ∈ {∅, 1𝑜}
3130, 17eleqtrri 2729 . . . . . . . . . . 11 1𝑜 ∈ 2𝑜
32 fvco2 6312 . . . . . . . . . . 11 ((({𝑅} +𝑐 {𝑆}) Fn 2𝑜 ∧ 1𝑜 ∈ 2𝑜) → ((TopOpen ∘ ({𝑅} +𝑐 {𝑆}))‘1𝑜) = (TopOpen‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘1𝑜)))
335, 31, 32sylancl 695 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → ((TopOpen ∘ ({𝑅} +𝑐 {𝑆}))‘1𝑜) = (TopOpen‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘1𝑜)))
34 xpsc1 16268 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆 ∈ TopSp → (({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘1𝑜) = 𝑆)
3534adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → (({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘1𝑜) = 𝑆)
3635fveq2d 6233 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → (TopOpen‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘1𝑜)) = (TopOpen‘𝑆))
37 xpstopn.k . . . . . . . . . . 11 𝐾 = (TopOpen‘𝑆)
3836, 37syl6eqr 2703 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → (TopOpen‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘1𝑜)) = 𝐾)
3933, 38eqtrd 2685 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → ((TopOpen ∘ ({𝑅} +𝑐 {𝑆}))‘1𝑜) = 𝐾)
4039sneqd 4222 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → {((TopOpen ∘ ({𝑅} +𝑐 {𝑆}))‘1𝑜)} = {𝐾})
4127, 40oveq12d 6708 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → ({((TopOpen ∘ ({𝑅} +𝑐 {𝑆}))‘∅)} +𝑐 {((TopOpen ∘ ({𝑅} +𝑐 {𝑆}))‘1𝑜)}) = ({𝐽} +𝑐 {𝐾}))
4241cnveqd 5330 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → ({((TopOpen ∘ ({𝑅} +𝑐 {𝑆}))‘∅)} +𝑐 {((TopOpen ∘ ({𝑅} +𝑐 {𝑆}))‘1𝑜)}) = ({𝐽} +𝑐 {𝐾}))
4314, 42eqtr3d 2687 . . . . 5 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → (TopOpen ∘ ({𝑅} +𝑐 {𝑆})) = ({𝐽} +𝑐 {𝐾}))
4443fveq2d 6233 . . . 4 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → (∏t‘(TopOpen ∘ ({𝑅} +𝑐 {𝑆}))) = (∏t({𝐽} +𝑐 {𝐾})))
457, 44eqtrd 2685 . . 3 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → (TopOpen‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆}))) = (∏t({𝐽} +𝑐 {𝐾})))
4645oveq1d 6705 . 2 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → ((TopOpen‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆}))) qTop 𝐹) = ((∏t({𝐽} +𝑐 {𝐾})) qTop 𝐹))
47 xpstps.t . . . 4 𝑇 = (𝑅 ×s 𝑆)
48 xpstopnlem.x . . . 4 𝑋 = (Base‘𝑅)
49 xpstopnlem.y . . . 4 𝑌 = (Base‘𝑆)
50 simpl 472 . . . 4 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → 𝑅 ∈ TopSp)
51 simpr 476 . . . 4 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → 𝑆 ∈ TopSp)
52 xpstopnlem.f . . . 4 𝐹 = (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))
53 eqid 2651 . . . 4 (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
5447, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 1xpsval 16279 . . 3 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → 𝑇 = (𝐹s ((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆}))))
5547, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 1xpslem 16280 . . 3 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → ran 𝐹 = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆}))))
5652xpsff1o2 16278 . . . . 5 𝐹:(𝑋 × 𝑌)–1-1-onto→ran 𝐹
57 f1ocnv 6187 . . . . 5 (𝐹:(𝑋 × 𝑌)–1-1-onto→ran 𝐹𝐹:ran 𝐹1-1-onto→(𝑋 × 𝑌))
5856, 57mp1i 13 . . . 4 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → 𝐹:ran 𝐹1-1-onto→(𝑋 × 𝑌))
59 f1ofo 6182 . . . 4 (𝐹:ran 𝐹1-1-onto→(𝑋 × 𝑌) → 𝐹:ran 𝐹onto→(𝑋 × 𝑌))
6058, 59syl 17 . . 3 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → 𝐹:ran 𝐹onto→(𝑋 × 𝑌))
61 ovexd 6720 . . 3 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → ((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆})) ∈ V)
62 xpstopn.o . . 3 𝑂 = (TopOpen‘𝑇)
6354, 55, 60, 61, 6, 62imastopn 21571 . 2 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → 𝑂 = ((TopOpen‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆}))) qTop 𝐹))
6448, 24istps 20786 . . . . 5 (𝑅 ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
6550, 64sylib 208 . . . 4 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
6649, 37istps 20786 . . . . 5 (𝑆 ∈ TopSp ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
6751, 66sylib 208 . . . 4 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
6852, 65, 67xpstopnlem1 21660 . . 3 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → 𝐹 ∈ ((𝐽 ×t 𝐾)Homeo(∏t({𝐽} +𝑐 {𝐾}))))
69 hmeocnv 21613 . . 3 (𝐹 ∈ ((𝐽 ×t 𝐾)Homeo(∏t({𝐽} +𝑐 {𝐾}))) → 𝐹 ∈ ((∏t({𝐽} +𝑐 {𝐾}))Homeo(𝐽 ×t 𝐾)))
70 hmeoqtop 21626 . . 3 (𝐹 ∈ ((∏t({𝐽} +𝑐 {𝐾}))Homeo(𝐽 ×t 𝐾)) → (𝐽 ×t 𝐾) = ((∏t({𝐽} +𝑐 {𝐾})) qTop 𝐹))
7168, 69, 703syl 18 . 2 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → (𝐽 ×t 𝐾) = ((∏t({𝐽} +𝑐 {𝐾})) qTop 𝐹))
7246, 63, 713eqtr4d 2695 1 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ TopSp) → 𝑂 = (𝐽 ×t 𝐾))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  Vcvv 3231  ∅c0 3948  {csn 4210  {cpr 4212   × cxp 5141  ◡ccnv 5142  ran crn 5144   ∘ ccom 5147  Oncon0 5761   Fn wfn 5921  ⟶wf 5922  –onto→wfo 5924  –1-1-onto→wf1o 5925  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690   ↦ cmpt2 6692  1𝑜c1o 7598  2𝑜c2o 7599   +𝑐 ccda 9027  Basecbs 15904  Scalarcsca 15991  TopOpenctopn 16129  ∏tcpt 16146  Xscprds 16153   qTop cqtop 16210   ×s cxps 16213  TopOnctopon 20763  TopSpctps 20784   ×t ctx 21411  Homeochmeo 21604 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-fz 12365  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-tx 21413  df-hmeo 21606 This theorem is referenced by:  xpstopn  21663
 Copyright terms: Public domain W3C validator