MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpsng Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xpsng 6561
Description: The Cartesian product of two singletons. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
xpsng ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ({𝐴} × {𝐵}) = {⟨𝐴, 𝐵⟩})

Proof of Theorem xpsng
StepHypRef Expression
1 fconstg 6245 . . 3 (𝐵𝑊 → ({𝐴} × {𝐵}):{𝐴}⟶{𝐵})
21adantl 473 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ({𝐴} × {𝐵}):{𝐴}⟶{𝐵})
3 fsng 6559 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (({𝐴} × {𝐵}):{𝐴}⟶{𝐵} ↔ ({𝐴} × {𝐵}) = {⟨𝐴, 𝐵⟩}))
42, 3mpbid 222 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ({𝐴} × {𝐵}) = {⟨𝐴, 𝐵⟩})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1624  wcel 2131  {csn 4313  cop 4319   × cxp 5256  wf 6037
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pr 5047
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rab 3051  df-v 3334  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-nul 4051  df-if 4223  df-sn 4314  df-pr 4316  df-op 4320  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-id 5166  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048
This theorem is referenced by:  xpsn  6562  f1o2sn  6563  residpr  6564  fmptsn  6589  mpt2sn  7428  repsw1  13722  s1co  13771  xpscg  16412  xpsc0  16414  xpsc1  16415  intopsn  17446  grp1inv  17716  psgnsn  18132  ixpsnbasval  19403  mat1dimelbas  20471  mat1dimscm  20475  mat1dimmul  20476  mat1f1o  20478  m1detdiag  20597  pt1hmeo  21803  nosupbnd2lem1  32159  rngosn3  34028  fmptsnxp  39840  xpprsng  42612  lmod1zr  42784
  Copyright terms: Public domain W3C validator