Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpsmet Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xpsmet 22309
 Description: The direct product of two metric spaces. Definition 14-1.5 of [Gleason] p. 225. (Contributed by NM, 20-Jun-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xpsds.t 𝑇 = (𝑅 ×s 𝑆)
xpsds.x 𝑋 = (Base‘𝑅)
xpsds.y 𝑌 = (Base‘𝑆)
xpsds.1 (𝜑𝑅𝑉)
xpsds.2 (𝜑𝑆𝑊)
xpsds.p 𝑃 = (dist‘𝑇)
xpsds.m 𝑀 = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋))
xpsds.n 𝑁 = ((dist‘𝑆) ↾ (𝑌 × 𝑌))
xpsmet.3 (𝜑𝑀 ∈ (Met‘𝑋))
xpsmet.4 (𝜑𝑁 ∈ (Met‘𝑌))
Assertion
Ref Expression
xpsmet (𝜑𝑃 ∈ (Met‘(𝑋 × 𝑌)))

Proof of Theorem xpsmet
Dummy variables 𝑥 𝑘 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xpsds.t . . 3 𝑇 = (𝑅 ×s 𝑆)
2 xpsds.x . . 3 𝑋 = (Base‘𝑅)
3 xpsds.y . . 3 𝑌 = (Base‘𝑆)
4 xpsds.1 . . 3 (𝜑𝑅𝑉)
5 xpsds.2 . . 3 (𝜑𝑆𝑊)
6 eqid 2724 . . 3 (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})) = (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))
7 eqid 2724 . . 3 (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
8 eqid 2724 . . 3 ((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆})) = ((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆}))
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8xpsval 16355 . 2 (𝜑𝑇 = ((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})) “s ((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆}))))
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8xpslem 16356 . 2 (𝜑 → ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆}))))
116xpsff1o2 16354 . . 3 (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})):(𝑋 × 𝑌)–1-1-onto→ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))
12 f1ocnv 6262 . . 3 ((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})):(𝑋 × 𝑌)–1-1-onto→ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})) → (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})):ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))–1-1-onto→(𝑋 × 𝑌))
1311, 12mp1i 13 . 2 (𝜑(𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})):ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))–1-1-onto→(𝑋 × 𝑌))
14 ovexd 6795 . 2 (𝜑 → ((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆})) ∈ V)
15 eqid 2724 . 2 ((dist‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆}))) ↾ (ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})) × ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})))) = ((dist‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆}))) ↾ (ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})) × ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))))
16 xpsds.p . 2 𝑃 = (dist‘𝑇)
17 eqid 2724 . . . . 5 ((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2𝑜 ↦ (({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))) = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2𝑜 ↦ (({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)))
18 eqid 2724 . . . . 5 (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2𝑜 ↦ (({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)))) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2𝑜 ↦ (({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))))
19 eqid 2724 . . . . 5 (Base‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) = (Base‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))
20 eqid 2724 . . . . 5 ((dist‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) ↾ ((Base‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) × (Base‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)))) = ((dist‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) ↾ ((Base‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) × (Base‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))))
21 eqid 2724 . . . . 5 (dist‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2𝑜 ↦ (({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)))) = (dist‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2𝑜 ↦ (({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))))
22 fvexd 6316 . . . . 5 (𝜑 → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
23 2onn 7840 . . . . . 6 2𝑜 ∈ ω
24 nnfi 8269 . . . . . 6 (2𝑜 ∈ ω → 2𝑜 ∈ Fin)
2523, 24mp1i 13 . . . . 5 (𝜑 → 2𝑜 ∈ Fin)
26 fvexd 6316 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ 2𝑜) → (({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘) ∈ V)
27 elpri 4305 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ {∅, 1𝑜} → (𝑘 = ∅ ∨ 𝑘 = 1𝑜))
28 df2o3 7693 . . . . . . 7 2𝑜 = {∅, 1𝑜}
2927, 28eleq2s 2821 . . . . . 6 (𝑘 ∈ 2𝑜 → (𝑘 = ∅ ∨ 𝑘 = 1𝑜))
30 xpsmet.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ (Met‘𝑋))
3130adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 = ∅) → 𝑀 ∈ (Met‘𝑋))
32 fveq2 6304 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = ∅ → (({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘) = (({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘∅))
33 xpsc0 16343 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅𝑉 → (({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘∅) = 𝑅)
344, 33syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘∅) = 𝑅)
3532, 34sylan9eqr 2780 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 = ∅) → (({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘) = 𝑅)
3635fveq2d 6308 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 = ∅) → (dist‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) = (dist‘𝑅))
3735fveq2d 6308 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 = ∅) → (Base‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) = (Base‘𝑅))
3837, 2syl6eqr 2776 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 = ∅) → (Base‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) = 𝑋)
3938sqxpeqd 5250 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 = ∅) → ((Base‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) × (Base‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))) = (𝑋 × 𝑋))
4036, 39reseq12d 5504 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 = ∅) → ((dist‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) ↾ ((Base‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) × (Base‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)))) = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋)))
41 xpsds.m . . . . . . . . 9 𝑀 = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋))
4240, 41syl6eqr 2776 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 = ∅) → ((dist‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) ↾ ((Base‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) × (Base‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)))) = 𝑀)
4338fveq2d 6308 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 = ∅) → (Met‘(Base‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))) = (Met‘𝑋))
4431, 42, 433eltr4d 2818 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 = ∅) → ((dist‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) ↾ ((Base‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) × (Base‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)))) ∈ (Met‘(Base‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))))
45 xpsmet.4 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ (Met‘𝑌))
4645adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 = 1𝑜) → 𝑁 ∈ (Met‘𝑌))
47 fveq2 6304 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 1𝑜 → (({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘) = (({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘1𝑜))
48 xpsc1 16344 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆𝑊 → (({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘1𝑜) = 𝑆)
495, 48syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘1𝑜) = 𝑆)
5047, 49sylan9eqr 2780 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 = 1𝑜) → (({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘) = 𝑆)
5150fveq2d 6308 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 = 1𝑜) → (dist‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) = (dist‘𝑆))
5250fveq2d 6308 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 = 1𝑜) → (Base‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) = (Base‘𝑆))
5352, 3syl6eqr 2776 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 = 1𝑜) → (Base‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) = 𝑌)
5453sqxpeqd 5250 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 = 1𝑜) → ((Base‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) × (Base‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))) = (𝑌 × 𝑌))
5551, 54reseq12d 5504 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 = 1𝑜) → ((dist‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) ↾ ((Base‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) × (Base‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)))) = ((dist‘𝑆) ↾ (𝑌 × 𝑌)))
56 xpsds.n . . . . . . . . 9 𝑁 = ((dist‘𝑆) ↾ (𝑌 × 𝑌))
5755, 56syl6eqr 2776 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 = 1𝑜) → ((dist‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) ↾ ((Base‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) × (Base‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)))) = 𝑁)
5853fveq2d 6308 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 = 1𝑜) → (Met‘(Base‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))) = (Met‘𝑌))
5946, 57, 583eltr4d 2818 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 = 1𝑜) → ((dist‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) ↾ ((Base‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) × (Base‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)))) ∈ (Met‘(Base‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))))
6044, 59jaodan 861 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑘 = ∅ ∨ 𝑘 = 1𝑜)) → ((dist‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) ↾ ((Base‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) × (Base‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)))) ∈ (Met‘(Base‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))))
6129, 60sylan2 492 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ 2𝑜) → ((dist‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) ↾ ((Base‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) × (Base‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)))) ∈ (Met‘(Base‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))))
6217, 18, 19, 20, 21, 22, 25, 26, 61prdsmet 22297 . . . 4 (𝜑 → (dist‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2𝑜 ↦ (({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)))) ∈ (Met‘(Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2𝑜 ↦ (({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))))))
63 xpscfn 16342 . . . . . . . 8 ((𝑅𝑉𝑆𝑊) → ({𝑅} +𝑐 {𝑆}) Fn 2𝑜)
644, 5, 63syl2anc 696 . . . . . . 7 (𝜑({𝑅} +𝑐 {𝑆}) Fn 2𝑜)
65 dffn5 6355 . . . . . . 7 (({𝑅} +𝑐 {𝑆}) Fn 2𝑜({𝑅} +𝑐 {𝑆}) = (𝑘 ∈ 2𝑜 ↦ (({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)))
6664, 65sylib 208 . . . . . 6 (𝜑({𝑅} +𝑐 {𝑆}) = (𝑘 ∈ 2𝑜 ↦ (({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)))
6766oveq2d 6781 . . . . 5 (𝜑 → ((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆})) = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2𝑜 ↦ (({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))))
6867fveq2d 6308 . . . 4 (𝜑 → (dist‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆}))) = (dist‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2𝑜 ↦ (({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)))))
6967fveq2d 6308 . . . . . 6 (𝜑 → (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆}))) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2𝑜 ↦ (({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)))))
7010, 69eqtrd 2758 . . . . 5 (𝜑 → ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2𝑜 ↦ (({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)))))
7170fveq2d 6308 . . . 4 (𝜑 → (Met‘ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))) = (Met‘(Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2𝑜 ↦ (({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))))))
7262, 68, 713eltr4d 2818 . . 3 (𝜑 → (dist‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆}))) ∈ (Met‘ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))))
73 ssid 3730 . . 3 ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})) ⊆ ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))
74 metres2 22290 . . 3 (((dist‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆}))) ∈ (Met‘ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))) ∧ ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})) ⊆ ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))) → ((dist‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆}))) ↾ (ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})) × ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})))) ∈ (Met‘ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))))
7572, 73, 74sylancl 697 . 2 (𝜑 → ((dist‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆}))) ↾ (ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})) × ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})))) ∈ (Met‘ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))))
769, 10, 13, 14, 15, 16, 75imasf1omet 22303 1 (𝜑𝑃 ∈ (Met‘(𝑋 × 𝑌)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1596   ∈ wcel 2103  Vcvv 3304   ⊆ wss 3680  ∅c0 4023  {csn 4285  {cpr 4287   ↦ cmpt 4837   × cxp 5216  ◡ccnv 5217  ran crn 5219   ↾ cres 5220   Fn wfn 5996  –1-1-onto→wf1o 6000  ‘cfv 6001  (class class class)co 6765   ↦ cmpt2 6767  ωcom 7182  1𝑜c1o 7673  2𝑜c2o 7674  Fincfn 8072   +𝑐 ccda 9102  Basecbs 15980  Scalarcsca 16067  distcds 16073  Xscprds 16229   ×s cxps 16289  Metcme 19855 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-inf2 8651  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126  ax-pre-sup 10127 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-int 4584  df-iun 4630  df-iin 4631  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-se 5178  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-isom 6010  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-of 7014  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-supp 7416  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-1o 7680  df-2o 7681  df-oadd 7684  df-er 7862  df-map 7976  df-ixp 8026  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-fin 8076  df-fsupp 8392  df-sup 8464  df-inf 8465  df-oi 8531  df-card 8878  df-cda 9103  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-div 10798  df-nn 11134  df-2 11192  df-3 11193  df-4 11194  df-5 11195  df-6 11196  df-7 11197  df-8 11198  df-9 11199  df-n0 11406  df-z 11491  df-dec 11607  df-uz 11801  df-rp 11947  df-xneg 12060  df-xadd 12061  df-xmul 12062  df-icc 12296  df-fz 12441  df-fzo 12581  df-seq 12917  df-hash 13233  df-struct 15982  df-ndx 15983  df-slot 15984  df-base 15986  df-sets 15987  df-ress 15988  df-plusg 16077  df-mulr 16078  df-sca 16080  df-vsca 16081  df-ip 16082  df-tset 16083  df-ple 16084  df-ds 16087  df-hom 16089  df-cco 16090  df-0g 16225  df-gsum 16226  df-prds 16231  df-xrs 16285  df-imas 16291  df-xps 16293  df-mre 16369  df-mrc 16370  df-acs 16372  df-mgm 17364  df-sgrp 17406  df-mnd 17417  df-submnd 17458  df-mulg 17663  df-cntz 17871  df-cmn 18316  df-xmet 19862  df-met 19863 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator