MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpsle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xpsle 16449
Description: Value of the ordering in a binary structure product. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xpsle.t 𝑇 = (𝑅 ×s 𝑆)
xpsle.x 𝑋 = (Base‘𝑅)
xpsle.y 𝑌 = (Base‘𝑆)
xpsle.1 (𝜑𝑅𝑉)
xpsle.2 (𝜑𝑆𝑊)
xpsle.p = (le‘𝑇)
xpsle.m 𝑀 = (le‘𝑅)
xpsle.n 𝑁 = (le‘𝑆)
xpsle.3 (𝜑𝐴𝑋)
xpsle.4 (𝜑𝐵𝑌)
xpsle.5 (𝜑𝐶𝑋)
xpsle.6 (𝜑𝐷𝑌)
Assertion
Ref Expression
xpsle (𝜑 → (⟨𝐴, 𝐵𝐶, 𝐷⟩ ↔ (𝐴𝑀𝐶𝐵𝑁𝐷)))

Proof of Theorem xpsle
Dummy variables 𝑐 𝑑 𝑘 𝑥 𝑦 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ov 6799 . . . . 5 (𝐴(𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))𝐵) = ((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
2 xpsle.3 . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑋)
3 xpsle.4 . . . . . 6 (𝜑𝐵𝑌)
4 eqid 2771 . . . . . . 7 (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})) = (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))
54xpsfval 16435 . . . . . 6 ((𝐴𝑋𝐵𝑌) → (𝐴(𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))𝐵) = ({𝐴} +𝑐 {𝐵}))
62, 3, 5syl2anc 573 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴(𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))𝐵) = ({𝐴} +𝑐 {𝐵}))
71, 6syl5eqr 2819 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = ({𝐴} +𝑐 {𝐵}))
8 opelxpi 5287 . . . . . 6 ((𝐴𝑋𝐵𝑌) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌))
92, 3, 8syl2anc 573 . . . . 5 (𝜑 → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌))
104xpsff1o2 16439 . . . . . . 7 (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})):(𝑋 × 𝑌)–1-1-onto→ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))
11 f1of 6279 . . . . . . 7 ((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})):(𝑋 × 𝑌)–1-1-onto→ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})) → (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})):(𝑋 × 𝑌)⟶ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})))
1210, 11ax-mp 5 . . . . . 6 (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})):(𝑋 × 𝑌)⟶ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))
1312ffvelrni 6503 . . . . 5 (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌) → ((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})))
149, 13syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})))
157, 14eqeltrrd 2851 . . 3 (𝜑({𝐴} +𝑐 {𝐵}) ∈ ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})))
16 df-ov 6799 . . . . 5 (𝐶(𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))𝐷) = ((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘⟨𝐶, 𝐷⟩)
17 xpsle.5 . . . . . 6 (𝜑𝐶𝑋)
18 xpsle.6 . . . . . 6 (𝜑𝐷𝑌)
194xpsfval 16435 . . . . . 6 ((𝐶𝑋𝐷𝑌) → (𝐶(𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))𝐷) = ({𝐶} +𝑐 {𝐷}))
2017, 18, 19syl2anc 573 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶(𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))𝐷) = ({𝐶} +𝑐 {𝐷}))
2116, 20syl5eqr 2819 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘⟨𝐶, 𝐷⟩) = ({𝐶} +𝑐 {𝐷}))
22 opelxpi 5287 . . . . . 6 ((𝐶𝑋𝐷𝑌) → ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌))
2317, 18, 22syl2anc 573 . . . . 5 (𝜑 → ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌))
2412ffvelrni 6503 . . . . 5 (⟨𝐶, 𝐷⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌) → ((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘⟨𝐶, 𝐷⟩) ∈ ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})))
2523, 24syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘⟨𝐶, 𝐷⟩) ∈ ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})))
2621, 25eqeltrrd 2851 . . 3 (𝜑({𝐶} +𝑐 {𝐷}) ∈ ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})))
27 xpsle.t . . . . 5 𝑇 = (𝑅 ×s 𝑆)
28 xpsle.x . . . . 5 𝑋 = (Base‘𝑅)
29 xpsle.y . . . . 5 𝑌 = (Base‘𝑆)
30 xpsle.1 . . . . 5 (𝜑𝑅𝑉)
31 xpsle.2 . . . . 5 (𝜑𝑆𝑊)
32 eqid 2771 . . . . 5 (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
33 eqid 2771 . . . . 5 ((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆})) = ((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆}))
3427, 28, 29, 30, 31, 4, 32, 33xpsval 16440 . . . 4 (𝜑𝑇 = ((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})) “s ((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆}))))
3527, 28, 29, 30, 31, 4, 32, 33xpslem 16441 . . . 4 (𝜑 → ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆}))))
36 f1ocnv 6291 . . . . . 6 ((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})):(𝑋 × 𝑌)–1-1-onto→ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})) → (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})):ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))–1-1-onto→(𝑋 × 𝑌))
3710, 36mp1i 13 . . . . 5 (𝜑(𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})):ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))–1-1-onto→(𝑋 × 𝑌))
38 f1ofo 6286 . . . . 5 ((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})):ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))–1-1-onto→(𝑋 × 𝑌) → (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})):ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))–onto→(𝑋 × 𝑌))
3937, 38syl 17 . . . 4 (𝜑(𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})):ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))–onto→(𝑋 × 𝑌))
40 ovexd 6829 . . . 4 (𝜑 → ((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆})) ∈ V)
41 xpsle.p . . . 4 = (le‘𝑇)
42 eqid 2771 . . . 4 (le‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆}))) = (le‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆})))
4337f1olecpbl 16395 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})) ∧ 𝑏 ∈ ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))) ∧ (𝑐 ∈ ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})) ∧ 𝑑 ∈ ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})))) → ((((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘𝑎) = ((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘𝑐) ∧ ((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘𝑏) = ((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘𝑑)) → (𝑎(le‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆})))𝑏𝑐(le‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆})))𝑑)))
4434, 35, 39, 40, 41, 42, 43imasleval 16409 . . 3 ((𝜑({𝐴} +𝑐 {𝐵}) ∈ ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})) ∧ ({𝐶} +𝑐 {𝐷}) ∈ ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))) → (((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘({𝐴} +𝑐 {𝐵})) ((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘({𝐶} +𝑐 {𝐷})) ↔ ({𝐴} +𝑐 {𝐵})(le‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆})))({𝐶} +𝑐 {𝐷})))
4515, 26, 44mpd3an23 1574 . 2 (𝜑 → (((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘({𝐴} +𝑐 {𝐵})) ((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘({𝐶} +𝑐 {𝐷})) ↔ ({𝐴} +𝑐 {𝐵})(le‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆})))({𝐶} +𝑐 {𝐷})))
46 f1ocnvfv 6680 . . . . 5 (((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})):(𝑋 × 𝑌)–1-1-onto→ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})) ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌)) → (((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = ({𝐴} +𝑐 {𝐵}) → ((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘({𝐴} +𝑐 {𝐵})) = ⟨𝐴, 𝐵⟩))
4710, 9, 46sylancr 575 . . . 4 (𝜑 → (((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = ({𝐴} +𝑐 {𝐵}) → ((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘({𝐴} +𝑐 {𝐵})) = ⟨𝐴, 𝐵⟩))
487, 47mpd 15 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘({𝐴} +𝑐 {𝐵})) = ⟨𝐴, 𝐵⟩)
49 f1ocnvfv 6680 . . . . 5 (((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})):(𝑋 × 𝑌)–1-1-onto→ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})) ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌)) → (((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘⟨𝐶, 𝐷⟩) = ({𝐶} +𝑐 {𝐷}) → ((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘({𝐶} +𝑐 {𝐷})) = ⟨𝐶, 𝐷⟩))
5010, 23, 49sylancr 575 . . . 4 (𝜑 → (((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘⟨𝐶, 𝐷⟩) = ({𝐶} +𝑐 {𝐷}) → ((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘({𝐶} +𝑐 {𝐷})) = ⟨𝐶, 𝐷⟩))
5121, 50mpd 15 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘({𝐶} +𝑐 {𝐷})) = ⟨𝐶, 𝐷⟩)
5248, 51breq12d 4800 . 2 (𝜑 → (((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘({𝐴} +𝑐 {𝐵})) ((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘({𝐶} +𝑐 {𝐷})) ↔ ⟨𝐴, 𝐵𝐶, 𝐷⟩))
53 eqid 2771 . . . 4 (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆}))) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆})))
54 fvexd 6346 . . . 4 (𝜑 → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
55 2on 7726 . . . . 5 2𝑜 ∈ On
5655a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 2𝑜 ∈ On)
57 xpscfn 16427 . . . . 5 ((𝑅𝑉𝑆𝑊) → ({𝑅} +𝑐 {𝑆}) Fn 2𝑜)
5830, 31, 57syl2anc 573 . . . 4 (𝜑({𝑅} +𝑐 {𝑆}) Fn 2𝑜)
5915, 35eleqtrd 2852 . . . 4 (𝜑({𝐴} +𝑐 {𝐵}) ∈ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆}))))
6026, 35eleqtrd 2852 . . . 4 (𝜑({𝐶} +𝑐 {𝐷}) ∈ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆}))))
6133, 53, 54, 56, 58, 59, 60, 42prdsleval 16345 . . 3 (𝜑 → (({𝐴} +𝑐 {𝐵})(le‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆})))({𝐶} +𝑐 {𝐷}) ↔ ∀𝑘 ∈ 2𝑜 (({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘𝑘)(le‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))(({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘𝑘)))
62 df2o3 7731 . . . . . 6 2𝑜 = {∅, 1𝑜}
6362raleqi 3291 . . . . 5 (∀𝑘 ∈ 2𝑜 (({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘𝑘)(le‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))(({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘𝑘) ↔ ∀𝑘 ∈ {∅, 1𝑜} (({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘𝑘)(le‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))(({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘𝑘))
64 0ex 4925 . . . . . 6 ∅ ∈ V
65 1oex 7725 . . . . . 6 1𝑜 ∈ V
66 fveq2 6333 . . . . . . 7 (𝑘 = ∅ → (({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘𝑘) = (({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘∅))
67 fveq2 6333 . . . . . . . 8 (𝑘 = ∅ → (({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘) = (({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘∅))
6867fveq2d 6337 . . . . . . 7 (𝑘 = ∅ → (le‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) = (le‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘∅)))
69 fveq2 6333 . . . . . . 7 (𝑘 = ∅ → (({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘𝑘) = (({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘∅))
7066, 68, 69breq123d 4801 . . . . . 6 (𝑘 = ∅ → ((({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘𝑘)(le‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))(({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘𝑘) ↔ (({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘∅)(le‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘∅))(({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘∅)))
71 fveq2 6333 . . . . . . 7 (𝑘 = 1𝑜 → (({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘𝑘) = (({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘1𝑜))
72 fveq2 6333 . . . . . . . 8 (𝑘 = 1𝑜 → (({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘) = (({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘1𝑜))
7372fveq2d 6337 . . . . . . 7 (𝑘 = 1𝑜 → (le‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) = (le‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘1𝑜)))
74 fveq2 6333 . . . . . . 7 (𝑘 = 1𝑜 → (({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘𝑘) = (({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘1𝑜))
7571, 73, 74breq123d 4801 . . . . . 6 (𝑘 = 1𝑜 → ((({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘𝑘)(le‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))(({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘𝑘) ↔ (({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘1𝑜)(le‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘1𝑜))(({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘1𝑜)))
7664, 65, 70, 75ralpr 4376 . . . . 5 (∀𝑘 ∈ {∅, 1𝑜} (({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘𝑘)(le‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))(({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘𝑘) ↔ ((({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘∅)(le‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘∅))(({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘∅) ∧ (({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘1𝑜)(le‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘1𝑜))(({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘1𝑜)))
7763, 76bitri 264 . . . 4 (∀𝑘 ∈ 2𝑜 (({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘𝑘)(le‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))(({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘𝑘) ↔ ((({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘∅)(le‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘∅))(({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘∅) ∧ (({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘1𝑜)(le‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘1𝑜))(({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘1𝑜)))
78 xpsc0 16428 . . . . . . 7 (𝐴𝑋 → (({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘∅) = 𝐴)
792, 78syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘∅) = 𝐴)
80 xpsc0 16428 . . . . . . . . 9 (𝑅𝑉 → (({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘∅) = 𝑅)
8130, 80syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘∅) = 𝑅)
8281fveq2d 6337 . . . . . . 7 (𝜑 → (le‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘∅)) = (le‘𝑅))
83 xpsle.m . . . . . . 7 𝑀 = (le‘𝑅)
8482, 83syl6eqr 2823 . . . . . 6 (𝜑 → (le‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘∅)) = 𝑀)
85 xpsc0 16428 . . . . . . 7 (𝐶𝑋 → (({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘∅) = 𝐶)
8617, 85syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘∅) = 𝐶)
8779, 84, 86breq123d 4801 . . . . 5 (𝜑 → ((({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘∅)(le‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘∅))(({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘∅) ↔ 𝐴𝑀𝐶))
88 xpsc1 16429 . . . . . . 7 (𝐵𝑌 → (({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘1𝑜) = 𝐵)
893, 88syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘1𝑜) = 𝐵)
90 xpsc1 16429 . . . . . . . . 9 (𝑆𝑊 → (({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘1𝑜) = 𝑆)
9131, 90syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘1𝑜) = 𝑆)
9291fveq2d 6337 . . . . . . 7 (𝜑 → (le‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘1𝑜)) = (le‘𝑆))
93 xpsle.n . . . . . . 7 𝑁 = (le‘𝑆)
9492, 93syl6eqr 2823 . . . . . 6 (𝜑 → (le‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘1𝑜)) = 𝑁)
95 xpsc1 16429 . . . . . . 7 (𝐷𝑌 → (({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘1𝑜) = 𝐷)
9618, 95syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘1𝑜) = 𝐷)
9789, 94, 96breq123d 4801 . . . . 5 (𝜑 → ((({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘1𝑜)(le‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘1𝑜))(({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘1𝑜) ↔ 𝐵𝑁𝐷))
9887, 97anbi12d 616 . . . 4 (𝜑 → (((({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘∅)(le‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘∅))(({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘∅) ∧ (({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘1𝑜)(le‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘1𝑜))(({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘1𝑜)) ↔ (𝐴𝑀𝐶𝐵𝑁𝐷)))
9977, 98syl5bb 272 . . 3 (𝜑 → (∀𝑘 ∈ 2𝑜 (({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘𝑘)(le‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))(({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘𝑘) ↔ (𝐴𝑀𝐶𝐵𝑁𝐷)))
10061, 99bitrd 268 . 2 (𝜑 → (({𝐴} +𝑐 {𝐵})(le‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆})))({𝐶} +𝑐 {𝐷}) ↔ (𝐴𝑀𝐶𝐵𝑁𝐷)))
10145, 52, 1003bitr3d 298 1 (𝜑 → (⟨𝐴, 𝐵𝐶, 𝐷⟩ ↔ (𝐴𝑀𝐶𝐵𝑁𝐷)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wral 3061  Vcvv 3351  c0 4063  {csn 4317  {cpr 4319  cop 4323   class class class wbr 4787   × cxp 5248  ccnv 5249  ran crn 5251  Oncon0 5865   Fn wfn 6025  wf 6026  ontowfo 6028  1-1-ontowf1o 6029  cfv 6030  (class class class)co 6796  cmpt2 6798  1𝑜c1o 7710  2𝑜c2o 7711   +𝑐 ccda 9195  Basecbs 16064  Scalarcsca 16152  lecple 16156  Xscprds 16314   ×s cxps 16374
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-2o 7718  df-oadd 7721  df-er 7900  df-map 8015  df-ixp 8067  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-sup 8508  df-inf 8509  df-cda 9196  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-4 11287  df-5 11288  df-6 11289  df-7 11290  df-8 11291  df-9 11292  df-n0 11500  df-z 11585  df-dec 11701  df-uz 11894  df-fz 12534  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-hom 16174  df-cco 16175  df-prds 16316  df-imas 16376  df-xps 16378
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator