Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpsgrp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xpsgrp 17741
 Description: The binary product of groups is a group. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
xpsgrp.t 𝑇 = (𝑅 ×s 𝑆)
Assertion
Ref Expression
xpsgrp ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Grp) → 𝑇 ∈ Grp)

Proof of Theorem xpsgrp
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xpsgrp.t . . 3 𝑇 = (𝑅 ×s 𝑆)
2 eqid 2770 . . 3 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3 eqid 2770 . . 3 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
4 simpl 468 . . 3 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Grp) → 𝑅 ∈ Grp)
5 simpr 471 . . 3 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Grp) → 𝑆 ∈ Grp)
6 eqid 2770 . . 3 (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ({𝑥} +𝑐 {𝑦})) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ({𝑥} +𝑐 {𝑦}))
7 eqid 2770 . . 3 (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
8 eqid 2770 . . 3 ((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆})) = ((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆}))
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8xpsval 16439 . 2 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Grp) → 𝑇 = ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ({𝑥} +𝑐 {𝑦})) “s ((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆}))))
106xpsff1o2 16438 . . . . 5 (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ({𝑥} +𝑐 {𝑦})):((Base‘𝑅) × (Base‘𝑆))–1-1-onto→ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ({𝑥} +𝑐 {𝑦}))
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8xpslem 16440 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Grp) → ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ({𝑥} +𝑐 {𝑦})) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆}))))
12 f1oeq3 6270 . . . . . 6 (ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ({𝑥} +𝑐 {𝑦})) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆}))) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ({𝑥} +𝑐 {𝑦})):((Base‘𝑅) × (Base‘𝑆))–1-1-onto→ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ({𝑥} +𝑐 {𝑦})) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ({𝑥} +𝑐 {𝑦})):((Base‘𝑅) × (Base‘𝑆))–1-1-onto→(Base‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆})))))
1311, 12syl 17 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Grp) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ({𝑥} +𝑐 {𝑦})):((Base‘𝑅) × (Base‘𝑆))–1-1-onto→ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ({𝑥} +𝑐 {𝑦})) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ({𝑥} +𝑐 {𝑦})):((Base‘𝑅) × (Base‘𝑆))–1-1-onto→(Base‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆})))))
1410, 13mpbii 223 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Grp) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ({𝑥} +𝑐 {𝑦})):((Base‘𝑅) × (Base‘𝑆))–1-1-onto→(Base‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆}))))
15 f1ocnv 6290 . . . 4 ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ({𝑥} +𝑐 {𝑦})):((Base‘𝑅) × (Base‘𝑆))–1-1-onto→(Base‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆}))) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ({𝑥} +𝑐 {𝑦})):(Base‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆})))–1-1-onto→((Base‘𝑅) × (Base‘𝑆)))
16 f1of1 6277 . . . 4 ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ({𝑥} +𝑐 {𝑦})):(Base‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆})))–1-1-onto→((Base‘𝑅) × (Base‘𝑆)) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ({𝑥} +𝑐 {𝑦})):(Base‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆})))–1-1→((Base‘𝑅) × (Base‘𝑆)))
1714, 15, 163syl 18 . . 3 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Grp) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ({𝑥} +𝑐 {𝑦})):(Base‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆})))–1-1→((Base‘𝑅) × (Base‘𝑆)))
18 2on 7721 . . . . 5 2𝑜 ∈ On
1918a1i 11 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Grp) → 2𝑜 ∈ On)
20 fvexd 6344 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Grp) → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
21 xpscf 16433 . . . . 5 (({𝑅} +𝑐 {𝑆}):2𝑜⟶Grp ↔ (𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Grp))
2221biimpri 218 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Grp) → ({𝑅} +𝑐 {𝑆}):2𝑜⟶Grp)
238, 19, 20, 22prdsgrpd 17732 . . 3 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Grp) → ((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆})) ∈ Grp)
24 eqid 2770 . . . 4 ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ({𝑥} +𝑐 {𝑦})) “s ((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆}))) = ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ({𝑥} +𝑐 {𝑦})) “s ((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆})))
25 eqid 2770 . . . 4 (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆}))) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆})))
2624, 25imasgrpf1 17739 . . 3 (((𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ({𝑥} +𝑐 {𝑦})):(Base‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆})))–1-1→((Base‘𝑅) × (Base‘𝑆)) ∧ ((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆})) ∈ Grp) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ({𝑥} +𝑐 {𝑦})) “s ((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆}))) ∈ Grp)
2717, 23, 26syl2anc 565 . 2 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Grp) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ({𝑥} +𝑐 {𝑦})) “s ((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆}))) ∈ Grp)
289, 27eqeltrd 2849 1 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Grp) → 𝑇 ∈ Grp)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   = wceq 1630   ∈ wcel 2144  Vcvv 3349  {csn 4314   × cxp 5247  ◡ccnv 5248  ran crn 5250  Oncon0 5866  ⟶wf 6027  –1-1→wf1 6028  –1-1-onto→wf1o 6030  ‘cfv 6031  (class class class)co 6792   ↦ cmpt2 6794  2𝑜c2o 7706   +𝑐 ccda 9190  Basecbs 16063  Scalarcsca 16151  Xscprds 16313   “s cimas 16371   ×s cxps 16373  Grpcgrp 17629 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-2o 7713  df-oadd 7716  df-er 7895  df-map 8010  df-ixp 8062  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-sup 8503  df-inf 8504  df-cda 9191  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-4 11282  df-5 11283  df-6 11284  df-7 11285  df-8 11286  df-9 11287  df-n0 11494  df-z 11579  df-dec 11695  df-uz 11888  df-fz 12533  df-struct 16065  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-plusg 16161  df-mulr 16162  df-sca 16164  df-vsca 16165  df-ip 16166  df-tset 16167  df-ple 16168  df-ds 16171  df-hom 16173  df-cco 16174  df-0g 16309  df-prds 16315  df-imas 16375  df-xps 16377  df-mgm 17449  df-sgrp 17491  df-mnd 17502  df-grp 17632  df-minusg 17633 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator