MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpsfrnel2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xpsfrnel2 16447
Description: Elementhood in the target space of the function 𝐹 appearing in xpsval 16454. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xpsfrnel2 (({𝑋} +𝑐 {𝑌}) ∈ X𝑘 ∈ 2𝑜 if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵) ↔ (𝑋𝐴𝑌𝐵))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑋   𝑘,𝑌

Proof of Theorem xpsfrnel2
StepHypRef Expression
1 xpsfrnel 16445 . 2 (({𝑋} +𝑐 {𝑌}) ∈ X𝑘 ∈ 2𝑜 if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵) ↔ (({𝑋} +𝑐 {𝑌}) Fn 2𝑜 ∧ (({𝑋} +𝑐 {𝑌})‘∅) ∈ 𝐴 ∧ (({𝑋} +𝑐 {𝑌})‘1𝑜) ∈ 𝐵))
2 0ex 4942 . . . . . . . . . 10 ∅ ∈ V
32prid1 4441 . . . . . . . . 9 ∅ ∈ {∅, 1𝑜}
4 df2o3 7744 . . . . . . . . 9 2𝑜 = {∅, 1𝑜}
53, 4eleqtrri 2838 . . . . . . . 8 ∅ ∈ 2𝑜
6 fndm 6151 . . . . . . . 8 (({𝑋} +𝑐 {𝑌}) Fn 2𝑜 → dom ({𝑋} +𝑐 {𝑌}) = 2𝑜)
75, 6syl5eleqr 2846 . . . . . . 7 (({𝑋} +𝑐 {𝑌}) Fn 2𝑜 → ∅ ∈ dom ({𝑋} +𝑐 {𝑌}))
8 xpsc 16439 . . . . . . . . 9 ({𝑋} +𝑐 {𝑌}) = (({∅} × {𝑋}) ∪ ({1𝑜} × {𝑌}))
98dmeqi 5480 . . . . . . . 8 dom ({𝑋} +𝑐 {𝑌}) = dom (({∅} × {𝑋}) ∪ ({1𝑜} × {𝑌}))
10 dmun 5486 . . . . . . . 8 dom (({∅} × {𝑋}) ∪ ({1𝑜} × {𝑌})) = (dom ({∅} × {𝑋}) ∪ dom ({1𝑜} × {𝑌}))
119, 10eqtri 2782 . . . . . . 7 dom ({𝑋} +𝑐 {𝑌}) = (dom ({∅} × {𝑋}) ∪ dom ({1𝑜} × {𝑌}))
127, 11syl6eleq 2849 . . . . . 6 (({𝑋} +𝑐 {𝑌}) Fn 2𝑜 → ∅ ∈ (dom ({∅} × {𝑋}) ∪ dom ({1𝑜} × {𝑌})))
13 elun 3896 . . . . . . 7 (∅ ∈ (dom ({∅} × {𝑋}) ∪ dom ({1𝑜} × {𝑌})) ↔ (∅ ∈ dom ({∅} × {𝑋}) ∨ ∅ ∈ dom ({1𝑜} × {𝑌})))
142eldm 5476 . . . . . . . . 9 (∅ ∈ dom ({∅} × {𝑋}) ↔ ∃𝑘∅({∅} × {𝑋})𝑘)
15 brxp 5304 . . . . . . . . . . 11 (∅({∅} × {𝑋})𝑘 ↔ (∅ ∈ {∅} ∧ 𝑘 ∈ {𝑋}))
16 elsni 4338 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ {𝑋} → 𝑘 = 𝑋)
17 vex 3343 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘 ∈ V
1816, 17syl6eqelr 2848 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ {𝑋} → 𝑋 ∈ V)
1918adantl 473 . . . . . . . . . . 11 ((∅ ∈ {∅} ∧ 𝑘 ∈ {𝑋}) → 𝑋 ∈ V)
2015, 19sylbi 207 . . . . . . . . . 10 (∅({∅} × {𝑋})𝑘𝑋 ∈ V)
2120exlimiv 2007 . . . . . . . . 9 (∃𝑘∅({∅} × {𝑋})𝑘𝑋 ∈ V)
2214, 21sylbi 207 . . . . . . . 8 (∅ ∈ dom ({∅} × {𝑋}) → 𝑋 ∈ V)
23 dmxpss 5723 . . . . . . . . . 10 dom ({1𝑜} × {𝑌}) ⊆ {1𝑜}
2423sseli 3740 . . . . . . . . 9 (∅ ∈ dom ({1𝑜} × {𝑌}) → ∅ ∈ {1𝑜})
25 elsni 4338 . . . . . . . . 9 (∅ ∈ {1𝑜} → ∅ = 1𝑜)
26 1n0 7746 . . . . . . . . . . . 12 1𝑜 ≠ ∅
2726neii 2934 . . . . . . . . . . 11 ¬ 1𝑜 = ∅
2827pm2.21i 116 . . . . . . . . . 10 (1𝑜 = ∅ → 𝑋 ∈ V)
2928eqcoms 2768 . . . . . . . . 9 (∅ = 1𝑜𝑋 ∈ V)
3024, 25, 293syl 18 . . . . . . . 8 (∅ ∈ dom ({1𝑜} × {𝑌}) → 𝑋 ∈ V)
3122, 30jaoi 393 . . . . . . 7 ((∅ ∈ dom ({∅} × {𝑋}) ∨ ∅ ∈ dom ({1𝑜} × {𝑌})) → 𝑋 ∈ V)
3213, 31sylbi 207 . . . . . 6 (∅ ∈ (dom ({∅} × {𝑋}) ∪ dom ({1𝑜} × {𝑌})) → 𝑋 ∈ V)
3312, 32syl 17 . . . . 5 (({𝑋} +𝑐 {𝑌}) Fn 2𝑜𝑋 ∈ V)
34 1oex 7738 . . . . . . . . . 10 1𝑜 ∈ V
3534prid2 4442 . . . . . . . . 9 1𝑜 ∈ {∅, 1𝑜}
3635, 4eleqtrri 2838 . . . . . . . 8 1𝑜 ∈ 2𝑜
3736, 6syl5eleqr 2846 . . . . . . 7 (({𝑋} +𝑐 {𝑌}) Fn 2𝑜 → 1𝑜 ∈ dom ({𝑋} +𝑐 {𝑌}))
3837, 11syl6eleq 2849 . . . . . 6 (({𝑋} +𝑐 {𝑌}) Fn 2𝑜 → 1𝑜 ∈ (dom ({∅} × {𝑋}) ∪ dom ({1𝑜} × {𝑌})))
39 elun 3896 . . . . . . 7 (1𝑜 ∈ (dom ({∅} × {𝑋}) ∪ dom ({1𝑜} × {𝑌})) ↔ (1𝑜 ∈ dom ({∅} × {𝑋}) ∨ 1𝑜 ∈ dom ({1𝑜} × {𝑌})))
40 dmxpss 5723 . . . . . . . . . 10 dom ({∅} × {𝑋}) ⊆ {∅}
4140sseli 3740 . . . . . . . . 9 (1𝑜 ∈ dom ({∅} × {𝑋}) → 1𝑜 ∈ {∅})
42 elsni 4338 . . . . . . . . 9 (1𝑜 ∈ {∅} → 1𝑜 = ∅)
4327pm2.21i 116 . . . . . . . . 9 (1𝑜 = ∅ → 𝑌 ∈ V)
4441, 42, 433syl 18 . . . . . . . 8 (1𝑜 ∈ dom ({∅} × {𝑋}) → 𝑌 ∈ V)
4534eldm 5476 . . . . . . . . 9 (1𝑜 ∈ dom ({1𝑜} × {𝑌}) ↔ ∃𝑘1𝑜({1𝑜} × {𝑌})𝑘)
46 brxp 5304 . . . . . . . . . . 11 (1𝑜({1𝑜} × {𝑌})𝑘 ↔ (1𝑜 ∈ {1𝑜} ∧ 𝑘 ∈ {𝑌}))
47 elsni 4338 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ {𝑌} → 𝑘 = 𝑌)
4847, 17syl6eqelr 2848 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ {𝑌} → 𝑌 ∈ V)
4948adantl 473 . . . . . . . . . . 11 ((1𝑜 ∈ {1𝑜} ∧ 𝑘 ∈ {𝑌}) → 𝑌 ∈ V)
5046, 49sylbi 207 . . . . . . . . . 10 (1𝑜({1𝑜} × {𝑌})𝑘𝑌 ∈ V)
5150exlimiv 2007 . . . . . . . . 9 (∃𝑘1𝑜({1𝑜} × {𝑌})𝑘𝑌 ∈ V)
5245, 51sylbi 207 . . . . . . . 8 (1𝑜 ∈ dom ({1𝑜} × {𝑌}) → 𝑌 ∈ V)
5344, 52jaoi 393 . . . . . . 7 ((1𝑜 ∈ dom ({∅} × {𝑋}) ∨ 1𝑜 ∈ dom ({1𝑜} × {𝑌})) → 𝑌 ∈ V)
5439, 53sylbi 207 . . . . . 6 (1𝑜 ∈ (dom ({∅} × {𝑋}) ∪ dom ({1𝑜} × {𝑌})) → 𝑌 ∈ V)
5538, 54syl 17 . . . . 5 (({𝑋} +𝑐 {𝑌}) Fn 2𝑜𝑌 ∈ V)
5633, 55jca 555 . . . 4 (({𝑋} +𝑐 {𝑌}) Fn 2𝑜 → (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V))
57563ad2ant1 1128 . . 3 ((({𝑋} +𝑐 {𝑌}) Fn 2𝑜 ∧ (({𝑋} +𝑐 {𝑌})‘∅) ∈ 𝐴 ∧ (({𝑋} +𝑐 {𝑌})‘1𝑜) ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V))
58 elex 3352 . . . 4 (𝑋𝐴𝑋 ∈ V)
59 elex 3352 . . . 4 (𝑌𝐵𝑌 ∈ V)
6058, 59anim12i 591 . . 3 ((𝑋𝐴𝑌𝐵) → (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V))
61 3anass 1081 . . . 4 ((({𝑋} +𝑐 {𝑌}) Fn 2𝑜 ∧ (({𝑋} +𝑐 {𝑌})‘∅) ∈ 𝐴 ∧ (({𝑋} +𝑐 {𝑌})‘1𝑜) ∈ 𝐵) ↔ (({𝑋} +𝑐 {𝑌}) Fn 2𝑜 ∧ ((({𝑋} +𝑐 {𝑌})‘∅) ∈ 𝐴 ∧ (({𝑋} +𝑐 {𝑌})‘1𝑜) ∈ 𝐵)))
62 xpscfn 16441 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) → ({𝑋} +𝑐 {𝑌}) Fn 2𝑜)
6362biantrurd 530 . . . . 5 ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) → (((({𝑋} +𝑐 {𝑌})‘∅) ∈ 𝐴 ∧ (({𝑋} +𝑐 {𝑌})‘1𝑜) ∈ 𝐵) ↔ (({𝑋} +𝑐 {𝑌}) Fn 2𝑜 ∧ ((({𝑋} +𝑐 {𝑌})‘∅) ∈ 𝐴 ∧ (({𝑋} +𝑐 {𝑌})‘1𝑜) ∈ 𝐵))))
64 xpsc0 16442 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ V → (({𝑋} +𝑐 {𝑌})‘∅) = 𝑋)
6564eleq1d 2824 . . . . . 6 (𝑋 ∈ V → ((({𝑋} +𝑐 {𝑌})‘∅) ∈ 𝐴𝑋𝐴))
66 xpsc1 16443 . . . . . . 7 (𝑌 ∈ V → (({𝑋} +𝑐 {𝑌})‘1𝑜) = 𝑌)
6766eleq1d 2824 . . . . . 6 (𝑌 ∈ V → ((({𝑋} +𝑐 {𝑌})‘1𝑜) ∈ 𝐵𝑌𝐵))
6865, 67bi2anan9 953 . . . . 5 ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) → (((({𝑋} +𝑐 {𝑌})‘∅) ∈ 𝐴 ∧ (({𝑋} +𝑐 {𝑌})‘1𝑜) ∈ 𝐵) ↔ (𝑋𝐴𝑌𝐵)))
6963, 68bitr3d 270 . . . 4 ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) → ((({𝑋} +𝑐 {𝑌}) Fn 2𝑜 ∧ ((({𝑋} +𝑐 {𝑌})‘∅) ∈ 𝐴 ∧ (({𝑋} +𝑐 {𝑌})‘1𝑜) ∈ 𝐵)) ↔ (𝑋𝐴𝑌𝐵)))
7061, 69syl5bb 272 . . 3 ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) → ((({𝑋} +𝑐 {𝑌}) Fn 2𝑜 ∧ (({𝑋} +𝑐 {𝑌})‘∅) ∈ 𝐴 ∧ (({𝑋} +𝑐 {𝑌})‘1𝑜) ∈ 𝐵) ↔ (𝑋𝐴𝑌𝐵)))
7157, 60, 70pm5.21nii 367 . 2 ((({𝑋} +𝑐 {𝑌}) Fn 2𝑜 ∧ (({𝑋} +𝑐 {𝑌})‘∅) ∈ 𝐴 ∧ (({𝑋} +𝑐 {𝑌})‘1𝑜) ∈ 𝐵) ↔ (𝑋𝐴𝑌𝐵))
721, 71bitri 264 1 (({𝑋} +𝑐 {𝑌}) ∈ X𝑘 ∈ 2𝑜 if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵) ↔ (𝑋𝐴𝑌𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  wo 382  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wex 1853  wcel 2139  Vcvv 3340  cun 3713  c0 4058  ifcif 4230  {csn 4321  {cpr 4323   class class class wbr 4804   × cxp 5264  ccnv 5265  dom cdm 5266   Fn wfn 6044  cfv 6049  (class class class)co 6814  1𝑜c1o 7723  2𝑜c2o 7724  Xcixp 8076   +𝑐 ccda 9201
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-2o 7731  df-oadd 7734  df-er 7913  df-ixp 8077  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-cda 9202
This theorem is referenced by:  xpscf  16448  xpsff1o  16450
  Copyright terms: Public domain W3C validator