Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpsfrnel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xpsfrnel 16270
 Description: Elementhood in the target space of the function 𝐹 appearing in xpsval 16279. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xpsfrnel (𝐺X𝑘 ∈ 2𝑜 if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵) ↔ (𝐺 Fn 2𝑜 ∧ (𝐺‘∅) ∈ 𝐴 ∧ (𝐺‘1𝑜) ∈ 𝐵))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝐺

Proof of Theorem xpsfrnel
StepHypRef Expression
1 elixp2 7954 . 2 (𝐺X𝑘 ∈ 2𝑜 if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵) ↔ (𝐺 ∈ V ∧ 𝐺 Fn 2𝑜 ∧ ∀𝑘 ∈ 2𝑜 (𝐺𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵)))
2 3ancoma 1062 . . 3 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐺 Fn 2𝑜 ∧ ∀𝑘 ∈ 2𝑜 (𝐺𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵)) ↔ (𝐺 Fn 2𝑜𝐺 ∈ V ∧ ∀𝑘 ∈ 2𝑜 (𝐺𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵)))
3 df2o3 7618 . . . . . . . 8 2𝑜 = {∅, 1𝑜}
43raleqi 3172 . . . . . . 7 (∀𝑘 ∈ 2𝑜 (𝐺𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵) ↔ ∀𝑘 ∈ {∅, 1𝑜} (𝐺𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵))
5 0ex 4823 . . . . . . . 8 ∅ ∈ V
6 1on 7612 . . . . . . . . 9 1𝑜 ∈ On
76elexi 3244 . . . . . . . 8 1𝑜 ∈ V
8 fveq2 6229 . . . . . . . . 9 (𝑘 = ∅ → (𝐺𝑘) = (𝐺‘∅))
9 iftrue 4125 . . . . . . . . 9 (𝑘 = ∅ → if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵) = 𝐴)
108, 9eleq12d 2724 . . . . . . . 8 (𝑘 = ∅ → ((𝐺𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵) ↔ (𝐺‘∅) ∈ 𝐴))
11 fveq2 6229 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 1𝑜 → (𝐺𝑘) = (𝐺‘1𝑜))
12 1n0 7620 . . . . . . . . . . 11 1𝑜 ≠ ∅
13 neeq1 2885 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 1𝑜 → (𝑘 ≠ ∅ ↔ 1𝑜 ≠ ∅))
1412, 13mpbiri 248 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 1𝑜𝑘 ≠ ∅)
15 ifnefalse 4131 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ≠ ∅ → if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵) = 𝐵)
1614, 15syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 1𝑜 → if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵) = 𝐵)
1711, 16eleq12d 2724 . . . . . . . 8 (𝑘 = 1𝑜 → ((𝐺𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵) ↔ (𝐺‘1𝑜) ∈ 𝐵))
185, 7, 10, 17ralpr 4270 . . . . . . 7 (∀𝑘 ∈ {∅, 1𝑜} (𝐺𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵) ↔ ((𝐺‘∅) ∈ 𝐴 ∧ (𝐺‘1𝑜) ∈ 𝐵))
194, 18bitri 264 . . . . . 6 (∀𝑘 ∈ 2𝑜 (𝐺𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵) ↔ ((𝐺‘∅) ∈ 𝐴 ∧ (𝐺‘1𝑜) ∈ 𝐵))
20 2onn 7765 . . . . . . . . . 10 2𝑜 ∈ ω
21 nnfi 8194 . . . . . . . . . 10 (2𝑜 ∈ ω → 2𝑜 ∈ Fin)
2220, 21ax-mp 5 . . . . . . . . 9 2𝑜 ∈ Fin
23 fnfi 8279 . . . . . . . . 9 ((𝐺 Fn 2𝑜 ∧ 2𝑜 ∈ Fin) → 𝐺 ∈ Fin)
2422, 23mpan2 707 . . . . . . . 8 (𝐺 Fn 2𝑜𝐺 ∈ Fin)
25 elex 3243 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ Fin → 𝐺 ∈ V)
2624, 25syl 17 . . . . . . 7 (𝐺 Fn 2𝑜𝐺 ∈ V)
2726biantrurd 528 . . . . . 6 (𝐺 Fn 2𝑜 → (∀𝑘 ∈ 2𝑜 (𝐺𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵) ↔ (𝐺 ∈ V ∧ ∀𝑘 ∈ 2𝑜 (𝐺𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵))))
2819, 27syl5rbbr 275 . . . . 5 (𝐺 Fn 2𝑜 → ((𝐺 ∈ V ∧ ∀𝑘 ∈ 2𝑜 (𝐺𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵)) ↔ ((𝐺‘∅) ∈ 𝐴 ∧ (𝐺‘1𝑜) ∈ 𝐵)))
2928pm5.32i 670 . . . 4 ((𝐺 Fn 2𝑜 ∧ (𝐺 ∈ V ∧ ∀𝑘 ∈ 2𝑜 (𝐺𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵))) ↔ (𝐺 Fn 2𝑜 ∧ ((𝐺‘∅) ∈ 𝐴 ∧ (𝐺‘1𝑜) ∈ 𝐵)))
30 3anass 1059 . . . 4 ((𝐺 Fn 2𝑜𝐺 ∈ V ∧ ∀𝑘 ∈ 2𝑜 (𝐺𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵)) ↔ (𝐺 Fn 2𝑜 ∧ (𝐺 ∈ V ∧ ∀𝑘 ∈ 2𝑜 (𝐺𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵))))
31 3anass 1059 . . . 4 ((𝐺 Fn 2𝑜 ∧ (𝐺‘∅) ∈ 𝐴 ∧ (𝐺‘1𝑜) ∈ 𝐵) ↔ (𝐺 Fn 2𝑜 ∧ ((𝐺‘∅) ∈ 𝐴 ∧ (𝐺‘1𝑜) ∈ 𝐵)))
3229, 30, 313bitr4i 292 . . 3 ((𝐺 Fn 2𝑜𝐺 ∈ V ∧ ∀𝑘 ∈ 2𝑜 (𝐺𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵)) ↔ (𝐺 Fn 2𝑜 ∧ (𝐺‘∅) ∈ 𝐴 ∧ (𝐺‘1𝑜) ∈ 𝐵))
332, 32bitri 264 . 2 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐺 Fn 2𝑜 ∧ ∀𝑘 ∈ 2𝑜 (𝐺𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵)) ↔ (𝐺 Fn 2𝑜 ∧ (𝐺‘∅) ∈ 𝐴 ∧ (𝐺‘1𝑜) ∈ 𝐵))
341, 33bitri 264 1 (𝐺X𝑘 ∈ 2𝑜 if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵) ↔ (𝐺 Fn 2𝑜 ∧ (𝐺‘∅) ∈ 𝐴 ∧ (𝐺‘1𝑜) ∈ 𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  ∀wral 2941  Vcvv 3231  ∅c0 3948  ifcif 4119  {cpr 4212  Oncon0 5761   Fn wfn 5921  ‘cfv 5926  ωcom 7107  1𝑜c1o 7598  2𝑜c2o 7599  Xcixp 7950  Fincfn 7997 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001 This theorem is referenced by:  xpsfrnel2  16272  xpsff1o  16275
 Copyright terms: Public domain W3C validator