Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpsfeq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xpsfeq 16418
 Description: A function on 2𝑜 is determined by its values at zero and one. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xpsfeq (𝐺 Fn 2𝑜({(𝐺‘∅)} +𝑐 {(𝐺‘1𝑜)}) = 𝐺)

Proof of Theorem xpsfeq
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 6354 . . . 4 (𝐺‘∅) ∈ V
2 fvex 6354 . . . 4 (𝐺‘1𝑜) ∈ V
3 xpscfn 16413 . . . 4 (((𝐺‘∅) ∈ V ∧ (𝐺‘1𝑜) ∈ V) → ({(𝐺‘∅)} +𝑐 {(𝐺‘1𝑜)}) Fn 2𝑜)
41, 2, 3mp2an 710 . . 3 ({(𝐺‘∅)} +𝑐 {(𝐺‘1𝑜)}) Fn 2𝑜
54a1i 11 . 2 (𝐺 Fn 2𝑜({(𝐺‘∅)} +𝑐 {(𝐺‘1𝑜)}) Fn 2𝑜)
6 id 22 . 2 (𝐺 Fn 2𝑜𝐺 Fn 2𝑜)
7 elpri 4334 . . . . 5 (𝑘 ∈ {∅, 1𝑜} → (𝑘 = ∅ ∨ 𝑘 = 1𝑜))
8 df2o3 7734 . . . . 5 2𝑜 = {∅, 1𝑜}
97, 8eleq2s 2849 . . . 4 (𝑘 ∈ 2𝑜 → (𝑘 = ∅ ∨ 𝑘 = 1𝑜))
10 xpsc0 16414 . . . . . . 7 ((𝐺‘∅) ∈ V → (({(𝐺‘∅)} +𝑐 {(𝐺‘1𝑜)})‘∅) = (𝐺‘∅))
111, 10ax-mp 5 . . . . . 6 (({(𝐺‘∅)} +𝑐 {(𝐺‘1𝑜)})‘∅) = (𝐺‘∅)
12 fveq2 6344 . . . . . 6 (𝑘 = ∅ → (({(𝐺‘∅)} +𝑐 {(𝐺‘1𝑜)})‘𝑘) = (({(𝐺‘∅)} +𝑐 {(𝐺‘1𝑜)})‘∅))
13 fveq2 6344 . . . . . 6 (𝑘 = ∅ → (𝐺𝑘) = (𝐺‘∅))
1411, 12, 133eqtr4a 2812 . . . . 5 (𝑘 = ∅ → (({(𝐺‘∅)} +𝑐 {(𝐺‘1𝑜)})‘𝑘) = (𝐺𝑘))
15 xpsc1 16415 . . . . . . 7 ((𝐺‘1𝑜) ∈ V → (({(𝐺‘∅)} +𝑐 {(𝐺‘1𝑜)})‘1𝑜) = (𝐺‘1𝑜))
162, 15ax-mp 5 . . . . . 6 (({(𝐺‘∅)} +𝑐 {(𝐺‘1𝑜)})‘1𝑜) = (𝐺‘1𝑜)
17 fveq2 6344 . . . . . 6 (𝑘 = 1𝑜 → (({(𝐺‘∅)} +𝑐 {(𝐺‘1𝑜)})‘𝑘) = (({(𝐺‘∅)} +𝑐 {(𝐺‘1𝑜)})‘1𝑜))
18 fveq2 6344 . . . . . 6 (𝑘 = 1𝑜 → (𝐺𝑘) = (𝐺‘1𝑜))
1916, 17, 183eqtr4a 2812 . . . . 5 (𝑘 = 1𝑜 → (({(𝐺‘∅)} +𝑐 {(𝐺‘1𝑜)})‘𝑘) = (𝐺𝑘))
2014, 19jaoi 393 . . . 4 ((𝑘 = ∅ ∨ 𝑘 = 1𝑜) → (({(𝐺‘∅)} +𝑐 {(𝐺‘1𝑜)})‘𝑘) = (𝐺𝑘))
219, 20syl 17 . . 3 (𝑘 ∈ 2𝑜 → (({(𝐺‘∅)} +𝑐 {(𝐺‘1𝑜)})‘𝑘) = (𝐺𝑘))
2221adantl 473 . 2 ((𝐺 Fn 2𝑜𝑘 ∈ 2𝑜) → (({(𝐺‘∅)} +𝑐 {(𝐺‘1𝑜)})‘𝑘) = (𝐺𝑘))
235, 6, 22eqfnfvd 6469 1 (𝐺 Fn 2𝑜({(𝐺‘∅)} +𝑐 {(𝐺‘1𝑜)}) = 𝐺)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 382   = wceq 1624   ∈ wcel 2131  Vcvv 3332  ∅c0 4050  {csn 4313  {cpr 4315  ◡ccnv 5257   Fn wfn 6036  ‘cfv 6041  (class class class)co 6805  1𝑜c1o 7714  2𝑜c2o 7715   +𝑐 ccda 9173 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-ord 5879  df-on 5880  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-1o 7721  df-2o 7722  df-cda 9174 This theorem is referenced by:  xpsff1o  16422  xpstopnlem2  21808
 Copyright terms: Public domain W3C validator