Theorem xpscg 16265

Description: A short expression for the pair function mapping 0 to 𝐴 and 1 to 𝐵. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xpscg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ◡({𝐴} +𝑐 {𝐵}) = {⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1𝑜, 𝐵⟩})

Proof of Theorem xpscg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4823	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ V
2		xpsng 6446	. . . 4 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ({∅} × {𝐴}) = {⟨∅, 𝐴⟩})
3	1, 2	mpan 706	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ({∅} × {𝐴}) = {⟨∅, 𝐴⟩})
4		1on 7612	. . . 4 ⊢ 1𝑜 ∈ On
5		xpsng 6446	. . . 4 ⊢ ((1𝑜 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({1𝑜} × {𝐵}) = {⟨1𝑜, 𝐵⟩})
6	4, 5	mpan 706	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → ({1𝑜} × {𝐵}) = {⟨1𝑜, 𝐵⟩})
7		uneq12 3795	. . 3 ⊢ ((({∅} × {𝐴}) = {⟨∅, 𝐴⟩} ∧ ({1𝑜} × {𝐵}) = {⟨1𝑜, 𝐵⟩}) → (({∅} × {𝐴}) ∪ ({1𝑜} × {𝐵})) = ({⟨∅, 𝐴⟩} ∪ {⟨1𝑜, 𝐵⟩}))
8	3, 6, 7	syl2an 493	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (({∅} × {𝐴}) ∪ ({1𝑜} × {𝐵})) = ({⟨∅, 𝐴⟩} ∪ {⟨1𝑜, 𝐵⟩}))
9		xpsc 16264	. 2 ⊢ ◡({𝐴} +𝑐 {𝐵}) = (({∅} × {𝐴}) ∪ ({1𝑜} × {𝐵}))
10		df-pr 4213	. 2 ⊢ {⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1𝑜, 𝐵⟩} = ({⟨∅, 𝐴⟩} ∪ {⟨1𝑜, 𝐵⟩})
11	8, 9, 10	3eqtr4g 2710	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ◡({𝐴} +𝑐 {𝐵}) = {⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1𝑜, 𝐵⟩})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  Vcvv 3231   ∪ cun 3605  ∅c0 3948  {csn 4210  {cpr 4212  ⟨cop 4216   × cxp 5141  ^◡ccnv 5142  Oncon0 5761  (class class class)co 6690  1_𝑜c1o 7598   +_𝑐 ccda 9027

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-ord 5764  df-on 5765  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-1o 7605  df-cda 9028

This theorem is referenced by:  xpscfn  16266  xpstopnlem1  21660