MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpscfv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xpscfv 16444
Description: The value of the pair function at an element of 2𝑜. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xpscfv ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶 ∈ 2𝑜) → (({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘𝐶) = if(𝐶 = ∅, 𝐴, 𝐵))

Proof of Theorem xpscfv
StepHypRef Expression
1 elpri 4342 . . . 4 (𝐶 ∈ {∅, 1𝑜} → (𝐶 = ∅ ∨ 𝐶 = 1𝑜))
2 df2o3 7744 . . . 4 2𝑜 = {∅, 1𝑜}
31, 2eleq2s 2857 . . 3 (𝐶 ∈ 2𝑜 → (𝐶 = ∅ ∨ 𝐶 = 1𝑜))
4 xpsc0 16442 . . . . . 6 (𝐴𝑉 → (({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘∅) = 𝐴)
54adantr 472 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘∅) = 𝐴)
6 fveq2 6353 . . . . . 6 (𝐶 = ∅ → (({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘𝐶) = (({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘∅))
7 iftrue 4236 . . . . . 6 (𝐶 = ∅ → if(𝐶 = ∅, 𝐴, 𝐵) = 𝐴)
86, 7eqeq12d 2775 . . . . 5 (𝐶 = ∅ → ((({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘𝐶) = if(𝐶 = ∅, 𝐴, 𝐵) ↔ (({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘∅) = 𝐴))
95, 8syl5ibrcom 237 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐶 = ∅ → (({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘𝐶) = if(𝐶 = ∅, 𝐴, 𝐵)))
10 xpsc1 16443 . . . . . 6 (𝐵𝑊 → (({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘1𝑜) = 𝐵)
1110adantl 473 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘1𝑜) = 𝐵)
12 fveq2 6353 . . . . . 6 (𝐶 = 1𝑜 → (({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘𝐶) = (({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘1𝑜))
13 1n0 7746 . . . . . . . 8 1𝑜 ≠ ∅
14 neeq1 2994 . . . . . . . 8 (𝐶 = 1𝑜 → (𝐶 ≠ ∅ ↔ 1𝑜 ≠ ∅))
1513, 14mpbiri 248 . . . . . . 7 (𝐶 = 1𝑜𝐶 ≠ ∅)
16 ifnefalse 4242 . . . . . . 7 (𝐶 ≠ ∅ → if(𝐶 = ∅, 𝐴, 𝐵) = 𝐵)
1715, 16syl 17 . . . . . 6 (𝐶 = 1𝑜 → if(𝐶 = ∅, 𝐴, 𝐵) = 𝐵)
1812, 17eqeq12d 2775 . . . . 5 (𝐶 = 1𝑜 → ((({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘𝐶) = if(𝐶 = ∅, 𝐴, 𝐵) ↔ (({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘1𝑜) = 𝐵))
1911, 18syl5ibrcom 237 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐶 = 1𝑜 → (({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘𝐶) = if(𝐶 = ∅, 𝐴, 𝐵)))
209, 19jaod 394 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ((𝐶 = ∅ ∨ 𝐶 = 1𝑜) → (({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘𝐶) = if(𝐶 = ∅, 𝐴, 𝐵)))
213, 20syl5 34 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐶 ∈ 2𝑜 → (({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘𝐶) = if(𝐶 = ∅, 𝐴, 𝐵)))
22213impia 1110 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶 ∈ 2𝑜) → (({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘𝐶) = if(𝐶 = ∅, 𝐴, 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 382  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  c0 4058  ifcif 4230  {csn 4321  {cpr 4323  ccnv 5265  cfv 6049  (class class class)co 6814  1𝑜c1o 7723  2𝑜c2o 7724   +𝑐 ccda 9201
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-ord 5887  df-on 5888  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-1o 7730  df-2o 7731  df-cda 9202
This theorem is referenced by:  xpsfrn2  16452  xpslem  16455  xpsaddlem  16457  xpsvsca  16461
  Copyright terms: Public domain W3C validator