MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpscfn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xpscfn 16427
Description: The pair function is a function on 2𝑜 = {∅, 1𝑜}. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xpscfn ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ({𝐴} +𝑐 {𝐵}) Fn 2𝑜)

Proof of Theorem xpscfn
StepHypRef Expression
1 0ex 4924 . . . 4 ∅ ∈ V
2 1on 7720 . . . 4 1𝑜 ∈ On
3 1n0 7729 . . . . . 6 1𝑜 ≠ ∅
43necomi 2997 . . . . 5 ∅ ≠ 1𝑜
5 fnprg 6088 . . . . 5 (((∅ ∈ V ∧ 1𝑜 ∈ On) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ∅ ≠ 1𝑜) → {⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1𝑜, 𝐵⟩} Fn {∅, 1𝑜})
64, 5mp3an3 1561 . . . 4 (((∅ ∈ V ∧ 1𝑜 ∈ On) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑊)) → {⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1𝑜, 𝐵⟩} Fn {∅, 1𝑜})
71, 2, 6mpanl12 682 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → {⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1𝑜, 𝐵⟩} Fn {∅, 1𝑜})
8 df2o3 7727 . . . 4 2𝑜 = {∅, 1𝑜}
98fneq2i 6126 . . 3 ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1𝑜, 𝐵⟩} Fn 2𝑜 ↔ {⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1𝑜, 𝐵⟩} Fn {∅, 1𝑜})
107, 9sylibr 224 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → {⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1𝑜, 𝐵⟩} Fn 2𝑜)
11 xpscg 16426 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ({𝐴} +𝑐 {𝐵}) = {⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1𝑜, 𝐵⟩})
1211fneq1d 6121 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (({𝐴} +𝑐 {𝐵}) Fn 2𝑜 ↔ {⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1𝑜, 𝐵⟩} Fn 2𝑜))
1310, 12mpbird 247 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ({𝐴} +𝑐 {𝐵}) Fn 2𝑜)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  wcel 2145  wne 2943  Vcvv 3351  c0 4063  {csn 4316  {cpr 4318  cop 4322  ccnv 5248  Oncon0 5866   Fn wfn 6026  (class class class)co 6793  1𝑜c1o 7706  2𝑜c2o 7707   +𝑐 ccda 9191
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-ord 5869  df-on 5870  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-1o 7713  df-2o 7714  df-cda 9192
This theorem is referenced by:  xpsfeq  16432  xpsfrnel2  16433  xpslem  16441  xpsaddlem  16443  xpsvsca  16447  xpsle  16449  xpstopnlem1  21833  xpstopnlem2  21835  xpsxmetlem  22404  xpsdsval  22406  xpsmet  22407
  Copyright terms: Public domain W3C validator