Theorem xpscf 16434

Description: Equivalent condition for the pair function to be a proper function on 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xpscf	⊢ (◡({𝑋} +𝑐 {𝑌}):2𝑜⟶𝐴 ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴))

Proof of Theorem xpscf

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ifid 4264	. . . . . 6 ⊢ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐴) = 𝐴
2	1	eleq2i 2842	. . . . 5 ⊢ ((◡({𝑋} +𝑐 {𝑌})‘𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐴) ↔ (◡({𝑋} +𝑐 {𝑌})‘𝑘) ∈ 𝐴)
3	2	ralbii 3129	. . . 4 ⊢ (∀𝑘 ∈ 2𝑜 (◡({𝑋} +𝑐 {𝑌})‘𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐴) ↔ ∀𝑘 ∈ 2𝑜 (◡({𝑋} +𝑐 {𝑌})‘𝑘) ∈ 𝐴)
4	3	anbi2i 609	. . 3 ⊢ ((◡({𝑋} +𝑐 {𝑌}) Fn 2𝑜 ∧ ∀𝑘 ∈ 2𝑜 (◡({𝑋} +𝑐 {𝑌})‘𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐴)) ↔ (◡({𝑋} +𝑐 {𝑌}) Fn 2𝑜 ∧ ∀𝑘 ∈ 2𝑜 (◡({𝑋} +𝑐 {𝑌})‘𝑘) ∈ 𝐴))
5		ovex 6823	. . . . 5 ⊢ ({𝑋} +𝑐 {𝑌}) ∈ V
6	5	cnvex 7260	. . . 4 ⊢ ◡({𝑋} +𝑐 {𝑌}) ∈ V
7	6	elixp 8069	. . 3 ⊢ (◡({𝑋} +𝑐 {𝑌}) ∈ X𝑘 ∈ 2𝑜 if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐴) ↔ (◡({𝑋} +𝑐 {𝑌}) Fn 2𝑜 ∧ ∀𝑘 ∈ 2𝑜 (◡({𝑋} +𝑐 {𝑌})‘𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐴)))
8		ffnfv 6530	. . 3 ⊢ (◡({𝑋} +𝑐 {𝑌}):2𝑜⟶𝐴 ↔ (◡({𝑋} +𝑐 {𝑌}) Fn 2𝑜 ∧ ∀𝑘 ∈ 2𝑜 (◡({𝑋} +𝑐 {𝑌})‘𝑘) ∈ 𝐴))
9	4, 7, 8	3bitr4i 292	. 2 ⊢ (◡({𝑋} +𝑐 {𝑌}) ∈ X𝑘 ∈ 2𝑜 if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐴) ↔ ◡({𝑋} +𝑐 {𝑌}):2𝑜⟶𝐴)
10		xpsfrnel2 16433	. 2 ⊢ (◡({𝑋} +𝑐 {𝑌}) ∈ X𝑘 ∈ 2𝑜 if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐴) ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴))
11	9, 10	bitr3i 266	1 ⊢ (◡({𝑋} +𝑐 {𝑌}):2𝑜⟶𝐴 ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴))

Syntax hints:   ↔ wb 196   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  ∀wral 3061  ∅c0 4063  ifcif 4225  {csn 4316  ^◡ccnv 5248   Fn wfn 6026  ⟶wf 6027  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793  2_𝑜c2o 7707  Xcixp 8062   +_𝑐 ccda 9191

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-2o 7714  df-oadd 7717  df-er 7896  df-ixp 8063  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-cda 9192

This theorem is referenced by:  xpsmnd  17538  xpsgrp  17742  dmdprdpr  18656  dprdpr  18657  xpstopnlem1  21833  xpstps  21834  xpsxms  22559  xpsms  22560