Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpscf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xpscf 16434
 Description: Equivalent condition for the pair function to be a proper function on 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xpscf (({𝑋} +𝑐 {𝑌}):2𝑜𝐴 ↔ (𝑋𝐴𝑌𝐴))

Proof of Theorem xpscf
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ifid 4264 . . . . . 6 if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐴) = 𝐴
21eleq2i 2842 . . . . 5 ((({𝑋} +𝑐 {𝑌})‘𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐴) ↔ (({𝑋} +𝑐 {𝑌})‘𝑘) ∈ 𝐴)
32ralbii 3129 . . . 4 (∀𝑘 ∈ 2𝑜 (({𝑋} +𝑐 {𝑌})‘𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐴) ↔ ∀𝑘 ∈ 2𝑜 (({𝑋} +𝑐 {𝑌})‘𝑘) ∈ 𝐴)
43anbi2i 609 . . 3 ((({𝑋} +𝑐 {𝑌}) Fn 2𝑜 ∧ ∀𝑘 ∈ 2𝑜 (({𝑋} +𝑐 {𝑌})‘𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐴)) ↔ (({𝑋} +𝑐 {𝑌}) Fn 2𝑜 ∧ ∀𝑘 ∈ 2𝑜 (({𝑋} +𝑐 {𝑌})‘𝑘) ∈ 𝐴))
5 ovex 6823 . . . . 5 ({𝑋} +𝑐 {𝑌}) ∈ V
65cnvex 7260 . . . 4 ({𝑋} +𝑐 {𝑌}) ∈ V
76elixp 8069 . . 3 (({𝑋} +𝑐 {𝑌}) ∈ X𝑘 ∈ 2𝑜 if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐴) ↔ (({𝑋} +𝑐 {𝑌}) Fn 2𝑜 ∧ ∀𝑘 ∈ 2𝑜 (({𝑋} +𝑐 {𝑌})‘𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐴)))
8 ffnfv 6530 . . 3 (({𝑋} +𝑐 {𝑌}):2𝑜𝐴 ↔ (({𝑋} +𝑐 {𝑌}) Fn 2𝑜 ∧ ∀𝑘 ∈ 2𝑜 (({𝑋} +𝑐 {𝑌})‘𝑘) ∈ 𝐴))
94, 7, 83bitr4i 292 . 2 (({𝑋} +𝑐 {𝑌}) ∈ X𝑘 ∈ 2𝑜 if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐴) ↔ ({𝑋} +𝑐 {𝑌}):2𝑜𝐴)
10 xpsfrnel2 16433 . 2 (({𝑋} +𝑐 {𝑌}) ∈ X𝑘 ∈ 2𝑜 if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐴) ↔ (𝑋𝐴𝑌𝐴))
119, 10bitr3i 266 1 (({𝑋} +𝑐 {𝑌}):2𝑜𝐴 ↔ (𝑋𝐴𝑌𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 196   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  ∀wral 3061  ∅c0 4063  ifcif 4225  {csn 4316  ◡ccnv 5248   Fn wfn 6026  ⟶wf 6027  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793  2𝑜c2o 7707  Xcixp 8062   +𝑐 ccda 9191 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-2o 7714  df-oadd 7717  df-er 7896  df-ixp 8063  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-cda 9192 This theorem is referenced by:  xpsmnd  17538  xpsgrp  17742  dmdprdpr  18656  dprdpr  18657  xpstopnlem1  21833  xpstps  21834  xpsxms  22559  xpsms  22560
 Copyright terms: Public domain W3C validator