MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpsc1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xpsc1 16268
Description: The pair function maps 1 to 𝐵. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xpsc1 (𝐵𝑉 → (({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘1𝑜) = 𝐵)

Proof of Theorem xpsc1
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xpsc 16264 . . . 4 ({𝐴} +𝑐 {𝐵}) = (({∅} × {𝐴}) ∪ ({1𝑜} × {𝐵}))
21fveq1i 6230 . . 3 (({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘1𝑜) = ((({∅} × {𝐴}) ∪ ({1𝑜} × {𝐵}))‘1𝑜)
3 vex 3234 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥 ∈ V
4 fvi 6294 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ V → ( I ‘𝑥) = 𝑥)
53, 4ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ( I ‘𝑥) = 𝑥
6 elsni 4227 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ {𝐴} → 𝑥 = 𝐴)
76fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ {𝐴} → ( I ‘𝑥) = ( I ‘𝐴))
85, 7syl5eqr 2699 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ {𝐴} → 𝑥 = ( I ‘𝐴))
9 velsn 4226 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ {( I ‘𝐴)} ↔ 𝑥 = ( I ‘𝐴))
108, 9sylibr 224 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ {𝐴} → 𝑥 ∈ {( I ‘𝐴)})
1110ssriv 3640 . . . . . . . . 9 {𝐴} ⊆ {( I ‘𝐴)}
12 xpss2 5162 . . . . . . . . 9 ({𝐴} ⊆ {( I ‘𝐴)} → ({∅} × {𝐴}) ⊆ ({∅} × {( I ‘𝐴)}))
1311, 12ax-mp 5 . . . . . . . 8 ({∅} × {𝐴}) ⊆ ({∅} × {( I ‘𝐴)})
14 0ex 4823 . . . . . . . . 9 ∅ ∈ V
15 fvex 6239 . . . . . . . . 9 ( I ‘𝐴) ∈ V
1614, 15xpsn 6447 . . . . . . . 8 ({∅} × {( I ‘𝐴)}) = {⟨∅, ( I ‘𝐴)⟩}
1713, 16sseqtri 3670 . . . . . . 7 ({∅} × {𝐴}) ⊆ {⟨∅, ( I ‘𝐴)⟩}
1814, 15funsn 5977 . . . . . . 7 Fun {⟨∅, ( I ‘𝐴)⟩}
19 funss 5945 . . . . . . 7 (({∅} × {𝐴}) ⊆ {⟨∅, ( I ‘𝐴)⟩} → (Fun {⟨∅, ( I ‘𝐴)⟩} → Fun ({∅} × {𝐴})))
2017, 18, 19mp2 9 . . . . . 6 Fun ({∅} × {𝐴})
21 funfn 5956 . . . . . 6 (Fun ({∅} × {𝐴}) ↔ ({∅} × {𝐴}) Fn dom ({∅} × {𝐴}))
2220, 21mpbi 220 . . . . 5 ({∅} × {𝐴}) Fn dom ({∅} × {𝐴})
2322a1i 11 . . . 4 (𝐵𝑉 → ({∅} × {𝐴}) Fn dom ({∅} × {𝐴}))
24 fnconstg 6131 . . . 4 (𝐵𝑉 → ({1𝑜} × {𝐵}) Fn {1𝑜})
25 dmxpss 5600 . . . . . . 7 dom ({∅} × {𝐴}) ⊆ {∅}
26 ssrin 3871 . . . . . . 7 (dom ({∅} × {𝐴}) ⊆ {∅} → (dom ({∅} × {𝐴}) ∩ {1𝑜}) ⊆ ({∅} ∩ {1𝑜}))
2725, 26ax-mp 5 . . . . . 6 (dom ({∅} × {𝐴}) ∩ {1𝑜}) ⊆ ({∅} ∩ {1𝑜})
28 1n0 7620 . . . . . . . 8 1𝑜 ≠ ∅
2928necomi 2877 . . . . . . 7 ∅ ≠ 1𝑜
30 disjsn2 4279 . . . . . . 7 (∅ ≠ 1𝑜 → ({∅} ∩ {1𝑜}) = ∅)
3129, 30ax-mp 5 . . . . . 6 ({∅} ∩ {1𝑜}) = ∅
32 sseq0 4008 . . . . . 6 (((dom ({∅} × {𝐴}) ∩ {1𝑜}) ⊆ ({∅} ∩ {1𝑜}) ∧ ({∅} ∩ {1𝑜}) = ∅) → (dom ({∅} × {𝐴}) ∩ {1𝑜}) = ∅)
3327, 31, 32mp2an 708 . . . . 5 (dom ({∅} × {𝐴}) ∩ {1𝑜}) = ∅
3433a1i 11 . . . 4 (𝐵𝑉 → (dom ({∅} × {𝐴}) ∩ {1𝑜}) = ∅)
35 1on 7612 . . . . . . 7 1𝑜 ∈ On
3635elexi 3244 . . . . . 6 1𝑜 ∈ V
3736snid 4241 . . . . 5 1𝑜 ∈ {1𝑜}
3837a1i 11 . . . 4 (𝐵𝑉 → 1𝑜 ∈ {1𝑜})
39 fvun2 6309 . . . 4 ((({∅} × {𝐴}) Fn dom ({∅} × {𝐴}) ∧ ({1𝑜} × {𝐵}) Fn {1𝑜} ∧ ((dom ({∅} × {𝐴}) ∩ {1𝑜}) = ∅ ∧ 1𝑜 ∈ {1𝑜})) → ((({∅} × {𝐴}) ∪ ({1𝑜} × {𝐵}))‘1𝑜) = (({1𝑜} × {𝐵})‘1𝑜))
4023, 24, 34, 38, 39syl112anc 1370 . . 3 (𝐵𝑉 → ((({∅} × {𝐴}) ∪ ({1𝑜} × {𝐵}))‘1𝑜) = (({1𝑜} × {𝐵})‘1𝑜))
412, 40syl5eq 2697 . 2 (𝐵𝑉 → (({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘1𝑜) = (({1𝑜} × {𝐵})‘1𝑜))
42 xpsng 6446 . . . . 5 ((1𝑜 ∈ On ∧ 𝐵𝑉) → ({1𝑜} × {𝐵}) = {⟨1𝑜, 𝐵⟩})
4342fveq1d 6231 . . . 4 ((1𝑜 ∈ On ∧ 𝐵𝑉) → (({1𝑜} × {𝐵})‘1𝑜) = ({⟨1𝑜, 𝐵⟩}‘1𝑜))
44 fvsng 6488 . . . 4 ((1𝑜 ∈ On ∧ 𝐵𝑉) → ({⟨1𝑜, 𝐵⟩}‘1𝑜) = 𝐵)
4543, 44eqtrd 2685 . . 3 ((1𝑜 ∈ On ∧ 𝐵𝑉) → (({1𝑜} × {𝐵})‘1𝑜) = 𝐵)
4635, 45mpan 706 . 2 (𝐵𝑉 → (({1𝑜} × {𝐵})‘1𝑜) = 𝐵)
4741, 46eqtrd 2685 1 (𝐵𝑉 → (({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘1𝑜) = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  Vcvv 3231  cun 3605  cin 3606  wss 3607  c0 3948  {csn 4210  cop 4216   I cid 5052   × cxp 5141  ccnv 5142  dom cdm 5143  Oncon0 5761  Fun wfun 5920   Fn wfn 5921  cfv 5926  (class class class)co 6690  1𝑜c1o 7598   +𝑐 ccda 9027
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-ord 5764  df-on 5765  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-1o 7605  df-cda 9028
This theorem is referenced by:  xpscfv  16269  xpsfeq  16271  xpsfrnel2  16272  xpsff1o  16275  xpsle  16288  dmdprdpr  18494  dprdpr  18495  xpstopnlem1  21660  xpstopnlem2  21662  xpsxmetlem  22231  xpsdsval  22233  xpsmet  22234
  Copyright terms: Public domain W3C validator