Theorem xpsc0 16267

Description: The pair function maps 0 to 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xpsc0	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (◡({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘∅) = 𝐴)

Proof of Theorem xpsc0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpsc 16264	. . . 4 ⊢ ◡({𝐴} +𝑐 {𝐵}) = (({∅} × {𝐴}) ∪ ({1𝑜} × {𝐵}))
2	1	fveq1i 6230	. . 3 ⊢ (◡({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘∅) = ((({∅} × {𝐴}) ∪ ({1𝑜} × {𝐵}))‘∅)
3		fnconstg 6131	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ({∅} × {𝐴}) Fn {∅})
4		vex 3234	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑥 ∈ V
5		fvi 6294	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ V → ( I ‘𝑥) = 𝑥)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ( I ‘𝑥) = 𝑥
7		elsni 4227	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐵} → 𝑥 = 𝐵)
8	7	fveq2d 6233	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐵} → ( I ‘𝑥) = ( I ‘𝐵))
9	6, 8	syl5eqr 2699	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐵} → 𝑥 = ( I ‘𝐵))
10		velsn 4226	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ {( I ‘𝐵)} ↔ 𝑥 = ( I ‘𝐵))
11	9, 10	sylibr 224	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐵} → 𝑥 ∈ {( I ‘𝐵)})
12	11	ssriv 3640	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝐵} ⊆ {( I ‘𝐵)}
13		xpss2 5162	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝐵} ⊆ {( I ‘𝐵)} → ({1𝑜} × {𝐵}) ⊆ ({1𝑜} × {( I ‘𝐵)}))
14	12, 13	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ({1𝑜} × {𝐵}) ⊆ ({1𝑜} × {( I ‘𝐵)})
15		1on 7612	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1𝑜 ∈ On
16	15	elexi 3244	. . . . . . . . 9 ⊢ 1𝑜 ∈ V
17		fvex 6239	. . . . . . . . 9 ⊢ ( I ‘𝐵) ∈ V
18	16, 17	xpsn 6447	. . . . . . . 8 ⊢ ({1𝑜} × {( I ‘𝐵)}) = {⟨1𝑜, ( I ‘𝐵)⟩}
19	14, 18	sseqtri 3670	. . . . . . 7 ⊢ ({1𝑜} × {𝐵}) ⊆ {⟨1𝑜, ( I ‘𝐵)⟩}
20	16, 17	funsn 5977	. . . . . . 7 ⊢ Fun {⟨1𝑜, ( I ‘𝐵)⟩}
21		funss 5945	. . . . . . 7 ⊢ (({1𝑜} × {𝐵}) ⊆ {⟨1𝑜, ( I ‘𝐵)⟩} → (Fun {⟨1𝑜, ( I ‘𝐵)⟩} → Fun ({1𝑜} × {𝐵})))
22	19, 20, 21	mp2 9	. . . . . 6 ⊢ Fun ({1𝑜} × {𝐵})
23		funfn 5956	. . . . . 6 ⊢ (Fun ({1𝑜} × {𝐵}) ↔ ({1𝑜} × {𝐵}) Fn dom ({1𝑜} × {𝐵}))
24	22, 23	mpbi 220	. . . . 5 ⊢ ({1𝑜} × {𝐵}) Fn dom ({1𝑜} × {𝐵})
25	24	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ({1𝑜} × {𝐵}) Fn dom ({1𝑜} × {𝐵}))
26		dmxpss 5600	. . . . . . 7 ⊢ dom ({1𝑜} × {𝐵}) ⊆ {1𝑜}
27		sslin 3872	. . . . . . 7 ⊢ (dom ({1𝑜} × {𝐵}) ⊆ {1𝑜} → ({∅} ∩ dom ({1𝑜} × {𝐵})) ⊆ ({∅} ∩ {1𝑜}))
28	26, 27	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ({∅} ∩ dom ({1𝑜} × {𝐵})) ⊆ ({∅} ∩ {1𝑜})
29		1n0 7620	. . . . . . . 8 ⊢ 1𝑜 ≠ ∅
30	29	necomi 2877	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ≠ 1𝑜
31		disjsn2 4279	. . . . . . 7 ⊢ (∅ ≠ 1𝑜 → ({∅} ∩ {1𝑜}) = ∅)
32	30, 31	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ({∅} ∩ {1𝑜}) = ∅
33		sseq0 4008	. . . . . 6 ⊢ ((({∅} ∩ dom ({1𝑜} × {𝐵})) ⊆ ({∅} ∩ {1𝑜}) ∧ ({∅} ∩ {1𝑜}) = ∅) → ({∅} ∩ dom ({1𝑜} × {𝐵})) = ∅)
34	28, 32, 33	mp2an 708	. . . . 5 ⊢ ({∅} ∩ dom ({1𝑜} × {𝐵})) = ∅
35	34	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ({∅} ∩ dom ({1𝑜} × {𝐵})) = ∅)
36		0ex 4823	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ V
37	36	snid 4241	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ {∅}
38	37	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∅ ∈ {∅})
39		fvun1 6308	. . . 4 ⊢ ((({∅} × {𝐴}) Fn {∅} ∧ ({1𝑜} × {𝐵}) Fn dom ({1𝑜} × {𝐵}) ∧ (({∅} ∩ dom ({1𝑜} × {𝐵})) = ∅ ∧ ∅ ∈ {∅})) → ((({∅} × {𝐴}) ∪ ({1𝑜} × {𝐵}))‘∅) = (({∅} × {𝐴})‘∅))
40	3, 25, 35, 38, 39	syl112anc 1370	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((({∅} × {𝐴}) ∪ ({1𝑜} × {𝐵}))‘∅) = (({∅} × {𝐴})‘∅))
41	2, 40	syl5eq 2697	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (◡({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘∅) = (({∅} × {𝐴})‘∅))
42		xpsng 6446	. . . . 5 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ({∅} × {𝐴}) = {⟨∅, 𝐴⟩})
43	42	fveq1d 6231	. . . 4 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (({∅} × {𝐴})‘∅) = ({⟨∅, 𝐴⟩}‘∅))
44		fvsng 6488	. . . 4 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ({⟨∅, 𝐴⟩}‘∅) = 𝐴)
45	43, 44	eqtrd 2685	. . 3 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (({∅} × {𝐴})‘∅) = 𝐴)
46	36, 45	mpan 706	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (({∅} × {𝐴})‘∅) = 𝐴)
47	41, 46	eqtrd 2685	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (◡({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘∅) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  Vcvv 3231   ∪ cun 3605   ∩ cin 3606   ⊆ wss 3607  ∅c0 3948  {csn 4210  ⟨cop 4216   I cid 5052   × cxp 5141  ^◡ccnv 5142  dom cdm 5143  Oncon0 5761  Fun wfun 5920   Fn wfn 5921  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  1_𝑜c1o 7598   +_𝑐 ccda 9027

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-ord 5764  df-on 5765  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-1o 7605  df-cda 9028

This theorem is referenced by:  xpscfv  16269  xpsfeq  16271  xpsfrnel2  16272  xpsff1o  16275  xpsle  16288  dmdprdpr  18494  dprdpr  18495  xpstopnlem1  21660  xpstopnlem2  21662  xpsxmetlem  22231  xpsdsval  22233  xpsmet  22234