MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpsc0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xpsc0 16267
Description: The pair function maps 0 to 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xpsc0 (𝐴𝑉 → (({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘∅) = 𝐴)

Proof of Theorem xpsc0
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xpsc 16264 . . . 4 ({𝐴} +𝑐 {𝐵}) = (({∅} × {𝐴}) ∪ ({1𝑜} × {𝐵}))
21fveq1i 6230 . . 3 (({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘∅) = ((({∅} × {𝐴}) ∪ ({1𝑜} × {𝐵}))‘∅)
3 fnconstg 6131 . . . 4 (𝐴𝑉 → ({∅} × {𝐴}) Fn {∅})
4 vex 3234 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥 ∈ V
5 fvi 6294 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ V → ( I ‘𝑥) = 𝑥)
64, 5ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ( I ‘𝑥) = 𝑥
7 elsni 4227 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ {𝐵} → 𝑥 = 𝐵)
87fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ {𝐵} → ( I ‘𝑥) = ( I ‘𝐵))
96, 8syl5eqr 2699 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ {𝐵} → 𝑥 = ( I ‘𝐵))
10 velsn 4226 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ {( I ‘𝐵)} ↔ 𝑥 = ( I ‘𝐵))
119, 10sylibr 224 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ {𝐵} → 𝑥 ∈ {( I ‘𝐵)})
1211ssriv 3640 . . . . . . . . 9 {𝐵} ⊆ {( I ‘𝐵)}
13 xpss2 5162 . . . . . . . . 9 ({𝐵} ⊆ {( I ‘𝐵)} → ({1𝑜} × {𝐵}) ⊆ ({1𝑜} × {( I ‘𝐵)}))
1412, 13ax-mp 5 . . . . . . . 8 ({1𝑜} × {𝐵}) ⊆ ({1𝑜} × {( I ‘𝐵)})
15 1on 7612 . . . . . . . . . 10 1𝑜 ∈ On
1615elexi 3244 . . . . . . . . 9 1𝑜 ∈ V
17 fvex 6239 . . . . . . . . 9 ( I ‘𝐵) ∈ V
1816, 17xpsn 6447 . . . . . . . 8 ({1𝑜} × {( I ‘𝐵)}) = {⟨1𝑜, ( I ‘𝐵)⟩}
1914, 18sseqtri 3670 . . . . . . 7 ({1𝑜} × {𝐵}) ⊆ {⟨1𝑜, ( I ‘𝐵)⟩}
2016, 17funsn 5977 . . . . . . 7 Fun {⟨1𝑜, ( I ‘𝐵)⟩}
21 funss 5945 . . . . . . 7 (({1𝑜} × {𝐵}) ⊆ {⟨1𝑜, ( I ‘𝐵)⟩} → (Fun {⟨1𝑜, ( I ‘𝐵)⟩} → Fun ({1𝑜} × {𝐵})))
2219, 20, 21mp2 9 . . . . . 6 Fun ({1𝑜} × {𝐵})
23 funfn 5956 . . . . . 6 (Fun ({1𝑜} × {𝐵}) ↔ ({1𝑜} × {𝐵}) Fn dom ({1𝑜} × {𝐵}))
2422, 23mpbi 220 . . . . 5 ({1𝑜} × {𝐵}) Fn dom ({1𝑜} × {𝐵})
2524a1i 11 . . . 4 (𝐴𝑉 → ({1𝑜} × {𝐵}) Fn dom ({1𝑜} × {𝐵}))
26 dmxpss 5600 . . . . . . 7 dom ({1𝑜} × {𝐵}) ⊆ {1𝑜}
27 sslin 3872 . . . . . . 7 (dom ({1𝑜} × {𝐵}) ⊆ {1𝑜} → ({∅} ∩ dom ({1𝑜} × {𝐵})) ⊆ ({∅} ∩ {1𝑜}))
2826, 27ax-mp 5 . . . . . 6 ({∅} ∩ dom ({1𝑜} × {𝐵})) ⊆ ({∅} ∩ {1𝑜})
29 1n0 7620 . . . . . . . 8 1𝑜 ≠ ∅
3029necomi 2877 . . . . . . 7 ∅ ≠ 1𝑜
31 disjsn2 4279 . . . . . . 7 (∅ ≠ 1𝑜 → ({∅} ∩ {1𝑜}) = ∅)
3230, 31ax-mp 5 . . . . . 6 ({∅} ∩ {1𝑜}) = ∅
33 sseq0 4008 . . . . . 6 ((({∅} ∩ dom ({1𝑜} × {𝐵})) ⊆ ({∅} ∩ {1𝑜}) ∧ ({∅} ∩ {1𝑜}) = ∅) → ({∅} ∩ dom ({1𝑜} × {𝐵})) = ∅)
3428, 32, 33mp2an 708 . . . . 5 ({∅} ∩ dom ({1𝑜} × {𝐵})) = ∅
3534a1i 11 . . . 4 (𝐴𝑉 → ({∅} ∩ dom ({1𝑜} × {𝐵})) = ∅)
36 0ex 4823 . . . . . 6 ∅ ∈ V
3736snid 4241 . . . . 5 ∅ ∈ {∅}
3837a1i 11 . . . 4 (𝐴𝑉 → ∅ ∈ {∅})
39 fvun1 6308 . . . 4 ((({∅} × {𝐴}) Fn {∅} ∧ ({1𝑜} × {𝐵}) Fn dom ({1𝑜} × {𝐵}) ∧ (({∅} ∩ dom ({1𝑜} × {𝐵})) = ∅ ∧ ∅ ∈ {∅})) → ((({∅} × {𝐴}) ∪ ({1𝑜} × {𝐵}))‘∅) = (({∅} × {𝐴})‘∅))
403, 25, 35, 38, 39syl112anc 1370 . . 3 (𝐴𝑉 → ((({∅} × {𝐴}) ∪ ({1𝑜} × {𝐵}))‘∅) = (({∅} × {𝐴})‘∅))
412, 40syl5eq 2697 . 2 (𝐴𝑉 → (({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘∅) = (({∅} × {𝐴})‘∅))
42 xpsng 6446 . . . . 5 ((∅ ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → ({∅} × {𝐴}) = {⟨∅, 𝐴⟩})
4342fveq1d 6231 . . . 4 ((∅ ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (({∅} × {𝐴})‘∅) = ({⟨∅, 𝐴⟩}‘∅))
44 fvsng 6488 . . . 4 ((∅ ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → ({⟨∅, 𝐴⟩}‘∅) = 𝐴)
4543, 44eqtrd 2685 . . 3 ((∅ ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (({∅} × {𝐴})‘∅) = 𝐴)
4636, 45mpan 706 . 2 (𝐴𝑉 → (({∅} × {𝐴})‘∅) = 𝐴)
4741, 46eqtrd 2685 1 (𝐴𝑉 → (({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘∅) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  Vcvv 3231  cun 3605  cin 3606  wss 3607  c0 3948  {csn 4210  cop 4216   I cid 5052   × cxp 5141  ccnv 5142  dom cdm 5143  Oncon0 5761  Fun wfun 5920   Fn wfn 5921  cfv 5926  (class class class)co 6690  1𝑜c1o 7598   +𝑐 ccda 9027
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-ord 5764  df-on 5765  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-1o 7605  df-cda 9028
This theorem is referenced by:  xpscfv  16269  xpsfeq  16271  xpsfrnel2  16272  xpsff1o  16275  xpsle  16288  dmdprdpr  18494  dprdpr  18495  xpstopnlem1  21660  xpstopnlem2  21662  xpsxmetlem  22231  xpsdsval  22233  xpsmet  22234
  Copyright terms: Public domain W3C validator