MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpsc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xpsc 16440
Description: A short expression for the pair function mapping 0 to 𝐴 and 1 to 𝐵. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xpsc ({𝐴} +𝑐 {𝐵}) = (({∅} × {𝐴}) ∪ ({1𝑜} × {𝐵}))

Proof of Theorem xpsc
StepHypRef Expression
1 snex 5058 . . . 4 {𝐴} ∈ V
2 snex 5058 . . . 4 {𝐵} ∈ V
3 cdaval 9205 . . . 4 (({𝐴} ∈ V ∧ {𝐵} ∈ V) → ({𝐴} +𝑐 {𝐵}) = (({𝐴} × {∅}) ∪ ({𝐵} × {1𝑜})))
41, 2, 3mp2an 710 . . 3 ({𝐴} +𝑐 {𝐵}) = (({𝐴} × {∅}) ∪ ({𝐵} × {1𝑜}))
54cnveqi 5453 . 2 ({𝐴} +𝑐 {𝐵}) = (({𝐴} × {∅}) ∪ ({𝐵} × {1𝑜}))
6 cnvun 5697 . 2 (({𝐴} × {∅}) ∪ ({𝐵} × {1𝑜})) = (({𝐴} × {∅}) ∪ ({𝐵} × {1𝑜}))
7 cnvxp 5710 . . 3 ({𝐴} × {∅}) = ({∅} × {𝐴})
8 cnvxp 5710 . . 3 ({𝐵} × {1𝑜}) = ({1𝑜} × {𝐵})
97, 8uneq12i 3909 . 2 (({𝐴} × {∅}) ∪ ({𝐵} × {1𝑜})) = (({∅} × {𝐴}) ∪ ({1𝑜} × {𝐵}))
105, 6, 93eqtri 2787 1 ({𝐴} +𝑐 {𝐵}) = (({∅} × {𝐴}) ∪ ({1𝑜} × {𝐵}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1632  wcel 2140  Vcvv 3341  cun 3714  c0 4059  {csn 4322   × cxp 5265  ccnv 5266  (class class class)co 6815  1𝑜c1o 7724   +𝑐 ccda 9202
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ral 3056  df-rex 3057  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-op 4329  df-uni 4590  df-br 4806  df-opab 4866  df-id 5175  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fv 6058  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-cda 9203
This theorem is referenced by:  xpscg  16441  xpsc0  16443  xpsc1  16444  xpsfrnel2  16448
  Copyright terms: Public domain W3C validator