MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpsadd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xpsadd 16444
Description: Value of the addition operation in a binary structure product. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xpsval.t 𝑇 = (𝑅 ×s 𝑆)
xpsval.x 𝑋 = (Base‘𝑅)
xpsval.y 𝑌 = (Base‘𝑆)
xpsval.1 (𝜑𝑅𝑉)
xpsval.2 (𝜑𝑆𝑊)
xpsadd.3 (𝜑𝐴𝑋)
xpsadd.4 (𝜑𝐵𝑌)
xpsadd.5 (𝜑𝐶𝑋)
xpsadd.6 (𝜑𝐷𝑌)
xpsadd.7 (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) ∈ 𝑋)
xpsadd.8 (𝜑 → (𝐵 × 𝐷) ∈ 𝑌)
xpsadd.m · = (+g𝑅)
xpsadd.n × = (+g𝑆)
xpsadd.p = (+g𝑇)
Assertion
Ref Expression
xpsadd (𝜑 → (⟨𝐴, 𝐵𝐶, 𝐷⟩) = ⟨(𝐴 · 𝐶), (𝐵 × 𝐷)⟩)

Proof of Theorem xpsadd
Dummy variables 𝑦 𝑘 𝑐 𝑥 𝑑 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xpsval.t . 2 𝑇 = (𝑅 ×s 𝑆)
2 xpsval.x . 2 𝑋 = (Base‘𝑅)
3 xpsval.y . 2 𝑌 = (Base‘𝑆)
4 xpsval.1 . 2 (𝜑𝑅𝑉)
5 xpsval.2 . 2 (𝜑𝑆𝑊)
6 xpsadd.3 . 2 (𝜑𝐴𝑋)
7 xpsadd.4 . 2 (𝜑𝐵𝑌)
8 xpsadd.5 . 2 (𝜑𝐶𝑋)
9 xpsadd.6 . 2 (𝜑𝐷𝑌)
10 xpsadd.7 . 2 (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) ∈ 𝑋)
11 xpsadd.8 . 2 (𝜑 → (𝐵 × 𝐷) ∈ 𝑌)
12 xpsadd.m . 2 · = (+g𝑅)
13 xpsadd.n . 2 × = (+g𝑆)
14 xpsadd.p . 2 = (+g𝑇)
15 eqid 2771 . 2 (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})) = (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))
16 eqid 2771 . 2 ((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆})) = ((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆}))
1715xpsff1o2 16439 . . . . 5 (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})):(𝑋 × 𝑌)–1-1-onto→ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))
18 f1ocnv 6290 . . . . 5 ((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})):(𝑋 × 𝑌)–1-1-onto→ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})) → (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})):ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))–1-1-onto→(𝑋 × 𝑌))
1917, 18mp1i 13 . . . 4 (𝜑(𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})):ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))–1-1-onto→(𝑋 × 𝑌))
20 f1ofo 6285 . . . 4 ((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})):ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))–1-1-onto→(𝑋 × 𝑌) → (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})):ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))–onto→(𝑋 × 𝑌))
2119, 20syl 17 . . 3 (𝜑(𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})):ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))–onto→(𝑋 × 𝑌))
2219f1ocpbl 16393 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})) ∧ 𝑏 ∈ ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))) ∧ (𝑐 ∈ ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})) ∧ 𝑑 ∈ ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})))) → ((((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘𝑎) = ((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘𝑐) ∧ ((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘𝑏) = ((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘𝑑)) → ((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘(𝑎(+g‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆})))𝑏)) = ((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘(𝑐(+g‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆})))𝑑))))
23 eqid 2771 . . . 4 (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
241, 2, 3, 4, 5, 15, 23, 16xpsval 16440 . . 3 (𝜑𝑇 = ((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})) “s ((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆}))))
251, 2, 3, 4, 5, 15, 23, 16xpslem 16441 . . 3 (𝜑 → ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆}))))
26 ovexd 6825 . . 3 (𝜑 → ((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆})) ∈ V)
27 eqid 2771 . . 3 (+g‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆}))) = (+g‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆})))
2821, 22, 24, 25, 26, 27, 14imasaddval 16400 . 2 ((𝜑({𝐴} +𝑐 {𝐵}) ∈ ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})) ∧ ({𝐶} +𝑐 {𝐷}) ∈ ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))) → (((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘({𝐴} +𝑐 {𝐵})) ((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘({𝐶} +𝑐 {𝐷}))) = ((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))‘(({𝐴} +𝑐 {𝐵})(+g‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆})))({𝐶} +𝑐 {𝐷}))))
29 eqid 2771 . . 3 (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆}))) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆})))
30 fvexd 6344 . . 3 ((({𝑅} +𝑐 {𝑆}) Fn 2𝑜({𝐴} +𝑐 {𝐵}) ∈ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆}))) ∧ ({𝐶} +𝑐 {𝐷}) ∈ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆})))) → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
31 2on 7722 . . . 4 2𝑜 ∈ On
3231a1i 11 . . 3 ((({𝑅} +𝑐 {𝑆}) Fn 2𝑜({𝐴} +𝑐 {𝐵}) ∈ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆}))) ∧ ({𝐶} +𝑐 {𝐷}) ∈ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆})))) → 2𝑜 ∈ On)
33 simp1 1130 . . 3 ((({𝑅} +𝑐 {𝑆}) Fn 2𝑜({𝐴} +𝑐 {𝐵}) ∈ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆}))) ∧ ({𝐶} +𝑐 {𝐷}) ∈ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆})))) → ({𝑅} +𝑐 {𝑆}) Fn 2𝑜)
34 simp2 1131 . . 3 ((({𝑅} +𝑐 {𝑆}) Fn 2𝑜({𝐴} +𝑐 {𝐵}) ∈ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆}))) ∧ ({𝐶} +𝑐 {𝐷}) ∈ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆})))) → ({𝐴} +𝑐 {𝐵}) ∈ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆}))))
35 simp3 1132 . . 3 ((({𝑅} +𝑐 {𝑆}) Fn 2𝑜({𝐴} +𝑐 {𝐵}) ∈ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆}))) ∧ ({𝐶} +𝑐 {𝐷}) ∈ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆})))) → ({𝐶} +𝑐 {𝐷}) ∈ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆}))))
3616, 29, 30, 32, 33, 34, 35, 27prdsplusgval 16341 . 2 ((({𝑅} +𝑐 {𝑆}) Fn 2𝑜({𝐴} +𝑐 {𝐵}) ∈ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆}))) ∧ ({𝐶} +𝑐 {𝐷}) ∈ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆})))) → (({𝐴} +𝑐 {𝐵})(+g‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆})))({𝐶} +𝑐 {𝐷})) = (𝑘 ∈ 2𝑜 ↦ ((({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘𝑘)(+g‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))(({𝐶} +𝑐 {𝐷})‘𝑘))))
371, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 28, 36xpsaddlem 16443 1 (𝜑 → (⟨𝐴, 𝐵𝐶, 𝐷⟩) = ⟨(𝐴 · 𝐶), (𝐵 × 𝐷)⟩)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  Vcvv 3351  {csn 4316  cop 4322   × cxp 5247  ccnv 5248  ran crn 5250  Oncon0 5866   Fn wfn 6026  ontowfo 6029  1-1-ontowf1o 6030  cfv 6031  (class class class)co 6793  cmpt2 6795  2𝑜c2o 7707   +𝑐 ccda 9191  Basecbs 16064  +gcplusg 16149  Scalarcsca 16152  Xscprds 16314   ×s cxps 16374
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-2o 7714  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-ixp 8063  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-sup 8504  df-inf 8505  df-cda 9192  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11495  df-z 11580  df-dec 11696  df-uz 11889  df-fz 12534  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-hom 16174  df-cco 16175  df-prds 16316  df-imas 16376  df-xps 16378
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator