Theorem xpomen 9048

Description: The Cartesian product of omega (the set of ordinal natural numbers) with itself is equinumerous to omega. Exercise 1 of [Enderton] p. 133. (Contributed by NM, 23-Jul-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Mar-2013.)

Assertion

Ref	Expression
xpomen	⊢ (ω × ω) ≈ ω

Proof of Theorem xpomen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omelon 8718	. 2 ⊢ ω ∈ On
2		ssid 3765	. 2 ⊢ ω ⊆ ω
3		infxpen 9047	. 2 ⊢ ((ω ∈ On ∧ ω ⊆ ω) → (ω × ω) ≈ ω)
4	1, 2, 3	mp2an 710	1 ⊢ (ω × ω) ≈ ω

Syntax hints:   ∈ wcel 2139   ⊆ wss 3715   class class class wbr 4804   × cxp 5264  Oncon0 5884  ωcom 7231   ≈ cen 8120

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-inf2 8713

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-oi 8582  df-card 8975

This theorem is referenced by:  xpct  9049  infxpenc2  9055  iunfictbso  9147  unctb  9239  fnct  9571  iunctb  9608  xpnnen  15158  rexpen  15176  2ndcctbss  21480  tx1stc  21675  tx2ndc  21676  met2ndci  22548  dyadmbl  23588