MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpncan Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xpncan 12286
Description: Extended real version of pncan 10489. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xpncan ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 -𝑒𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem xpncan
StepHypRef Expression
1 rexneg 12247 . . . 4 (𝐵 ∈ ℝ → -𝑒𝐵 = -𝐵)
21adantl 467 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → -𝑒𝐵 = -𝐵)
32oveq2d 6809 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 -𝑒𝐵) = ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 -𝐵))
4 renegcl 10546 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ → -𝐵 ∈ ℝ)
54ad2antlr 706 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → -𝐵 ∈ ℝ)
6 rexr 10287 . . . . . 6 (-𝐵 ∈ ℝ → -𝐵 ∈ ℝ*)
7 renepnf 10289 . . . . . 6 (-𝐵 ∈ ℝ → -𝐵 ≠ +∞)
8 xaddmnf2 12265 . . . . . 6 ((-𝐵 ∈ ℝ* ∧ -𝐵 ≠ +∞) → (-∞ +𝑒 -𝐵) = -∞)
96, 7, 8syl2anc 573 . . . . 5 (-𝐵 ∈ ℝ → (-∞ +𝑒 -𝐵) = -∞)
105, 9syl 17 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → (-∞ +𝑒 -𝐵) = -∞)
11 oveq1 6800 . . . . . 6 (𝐴 = -∞ → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (-∞ +𝑒 𝐵))
12 rexr 10287 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
13 renepnf 10289 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ≠ +∞)
14 xaddmnf2 12265 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) → (-∞ +𝑒 𝐵) = -∞)
1512, 13, 14syl2anc 573 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℝ → (-∞ +𝑒 𝐵) = -∞)
1615adantl 467 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (-∞ +𝑒 𝐵) = -∞)
1711, 16sylan9eqr 2827 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = -∞)
1817oveq1d 6808 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 -𝐵) = (-∞ +𝑒 -𝐵))
19 simpr 471 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → 𝐴 = -∞)
2010, 18, 193eqtr4d 2815 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 -𝐵) = 𝐴)
21 simpll 750 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ -∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
22 simpr 471 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ -∞) → 𝐴 ≠ -∞)
2312ad2antlr 706 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ -∞) → 𝐵 ∈ ℝ*)
24 renemnf 10290 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ≠ -∞)
2524ad2antlr 706 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ -∞) → 𝐵 ≠ -∞)
264ad2antlr 706 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ -∞) → -𝐵 ∈ ℝ)
2726, 6syl 17 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ -∞) → -𝐵 ∈ ℝ*)
28 renemnf 10290 . . . . . 6 (-𝐵 ∈ ℝ → -𝐵 ≠ -∞)
2926, 28syl 17 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ -∞) → -𝐵 ≠ -∞)
30 xaddass 12284 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (-𝐵 ∈ ℝ* ∧ -𝐵 ≠ -∞)) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 -𝐵) = (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 -𝐵)))
3121, 22, 23, 25, 27, 29, 30syl222anc 1492 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ -∞) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 -𝐵) = (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 -𝐵)))
32 simplr 752 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ -∞) → 𝐵 ∈ ℝ)
33 rexadd 12268 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 +𝑒 -𝐵) = (𝐵 + -𝐵))
3432, 26, 33syl2anc 573 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ -∞) → (𝐵 +𝑒 -𝐵) = (𝐵 + -𝐵))
3532recnd 10270 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ -∞) → 𝐵 ∈ ℂ)
3635negidd 10584 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ -∞) → (𝐵 + -𝐵) = 0)
3734, 36eqtrd 2805 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ -∞) → (𝐵 +𝑒 -𝐵) = 0)
3837oveq2d 6809 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ -∞) → (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 -𝐵)) = (𝐴 +𝑒 0))
39 xaddid1 12277 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 +𝑒 0) = 𝐴)
4039ad2antrr 705 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ -∞) → (𝐴 +𝑒 0) = 𝐴)
4138, 40eqtrd 2805 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ -∞) → (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 -𝐵)) = 𝐴)
4231, 41eqtrd 2805 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ -∞) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 -𝐵) = 𝐴)
4320, 42pm2.61dane 3030 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 -𝐵) = 𝐴)
443, 43eqtrd 2805 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 -𝑒𝐵) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  (class class class)co 6793  cr 10137  0cc0 10138   + caddc 10141  +∞cpnf 10273  -∞cmnf 10274  *cxr 10275  -cneg 10469  -𝑒cxne 12148   +𝑒 cxad 12149
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-po 5170  df-so 5171  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-sub 10470  df-neg 10471  df-xneg 12151  df-xadd 12152
This theorem is referenced by:  xnpcan  12287  xleadd1  12290  xaddeq0  29858
  Copyright terms: Public domain W3C validator