MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpexr2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xpexr2 7264
Description: If a nonempty Cartesian product is a set, so are both of its components. (Contributed by NM, 27-Aug-2006.)
Assertion
Ref Expression
xpexr2 (((𝐴 × 𝐵) ∈ 𝐶 ∧ (𝐴 × 𝐵) ≠ ∅) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))

Proof of Theorem xpexr2
StepHypRef Expression
1 xpnz 5703 . 2 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ↔ (𝐴 × 𝐵) ≠ ∅)
2 dmxp 5491 . . . . . 6 (𝐵 ≠ ∅ → dom (𝐴 × 𝐵) = 𝐴)
32adantl 473 . . . . 5 (((𝐴 × 𝐵) ∈ 𝐶𝐵 ≠ ∅) → dom (𝐴 × 𝐵) = 𝐴)
4 dmexg 7254 . . . . . 6 ((𝐴 × 𝐵) ∈ 𝐶 → dom (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
54adantr 472 . . . . 5 (((𝐴 × 𝐵) ∈ 𝐶𝐵 ≠ ∅) → dom (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
63, 5eqeltrrd 2832 . . . 4 (((𝐴 × 𝐵) ∈ 𝐶𝐵 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ V)
7 rnxp 5714 . . . . . 6 (𝐴 ≠ ∅ → ran (𝐴 × 𝐵) = 𝐵)
87adantl 473 . . . . 5 (((𝐴 × 𝐵) ∈ 𝐶𝐴 ≠ ∅) → ran (𝐴 × 𝐵) = 𝐵)
9 rnexg 7255 . . . . . 6 ((𝐴 × 𝐵) ∈ 𝐶 → ran (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
109adantr 472 . . . . 5 (((𝐴 × 𝐵) ∈ 𝐶𝐴 ≠ ∅) → ran (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
118, 10eqeltrrd 2832 . . . 4 (((𝐴 × 𝐵) ∈ 𝐶𝐴 ≠ ∅) → 𝐵 ∈ V)
126, 11anim12dan 918 . . 3 (((𝐴 × 𝐵) ∈ 𝐶 ∧ (𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≠ ∅)) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
1312ancom2s 879 . 2 (((𝐴 × 𝐵) ∈ 𝐶 ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
141, 13sylan2br 494 1 (((𝐴 × 𝐵) ∈ 𝐶 ∧ (𝐴 × 𝐵) ≠ ∅) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1624  wcel 2131  wne 2924  Vcvv 3332  c0 4050   × cxp 5256  dom cdm 5258  ran crn 5259
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pr 5047  ax-un 7106
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-ral 3047  df-rex 3048  df-rab 3051  df-v 3334  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-nul 4051  df-if 4223  df-sn 4314  df-pr 4316  df-op 4320  df-uni 4581  df-br 4797  df-opab 4857  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-dm 5268  df-rn 5269
This theorem is referenced by:  xpfir  8339  bj-xpnzex  33244
  Copyright terms: Public domain W3C validator