MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xp1st Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xp1st 7242
Description: Location of the first element of a Cartesian product. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
xp1st (𝐴 ∈ (𝐵 × 𝐶) → (1st𝐴) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem xp1st
Dummy variables 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elxp 5165 . 2 (𝐴 ∈ (𝐵 × 𝐶) ↔ ∃𝑏𝑐(𝐴 = ⟨𝑏, 𝑐⟩ ∧ (𝑏𝐵𝑐𝐶)))
2 vex 3234 . . . . . . 7 𝑏 ∈ V
3 vex 3234 . . . . . . 7 𝑐 ∈ V
42, 3op1std 7220 . . . . . 6 (𝐴 = ⟨𝑏, 𝑐⟩ → (1st𝐴) = 𝑏)
54eleq1d 2715 . . . . 5 (𝐴 = ⟨𝑏, 𝑐⟩ → ((1st𝐴) ∈ 𝐵𝑏𝐵))
65biimpar 501 . . . 4 ((𝐴 = ⟨𝑏, 𝑐⟩ ∧ 𝑏𝐵) → (1st𝐴) ∈ 𝐵)
76adantrr 753 . . 3 ((𝐴 = ⟨𝑏, 𝑐⟩ ∧ (𝑏𝐵𝑐𝐶)) → (1st𝐴) ∈ 𝐵)
87exlimivv 1900 . 2 (∃𝑏𝑐(𝐴 = ⟨𝑏, 𝑐⟩ ∧ (𝑏𝐵𝑐𝐶)) → (1st𝐴) ∈ 𝐵)
91, 8sylbi 207 1 (𝐴 ∈ (𝐵 × 𝐶) → (1st𝐴) ∈ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wex 1744  wcel 2030  cop 4216   × cxp 5141  cfv 5926  1st c1st 7208
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fv 5934  df-1st 7210
This theorem is referenced by:  el2xptp0  7256  offval22  7298  xpf1o  8163  xpmapenlem  8168  mapunen  8170  unxpwdom2  8534  r0weon  8873  infxpenlem  8874  fseqdom  8887  iundom2g  9400  enqbreq2  9780  nqereu  9789  addpqf  9804  mulpqf  9806  adderpqlem  9814  mulerpqlem  9815  addassnq  9818  mulassnq  9819  distrnq  9821  mulidnq  9823  recmulnq  9824  ltsonq  9829  lterpq  9830  ltanq  9831  ltmnq  9832  ltexnq  9835  archnq  9840  elreal2  9991  cnref1o  11865  fsum2dlem  14545  fsumcom2  14549  fsumcom2OLD  14550  ackbijnn  14604  fprod2dlem  14754  fprodcom2  14758  fprodcom2OLD  14759  ruclem6  15008  ruclem8  15010  ruclem9  15011  ruclem10  15012  ruclem11  15013  ruclem12  15014  eucalgval  15342  eucalginv  15344  eucalglt  15345  eucalg  15347  xpsff1o  16275  comfffval2  16408  comfeq  16413  idfucl  16588  funcpropd  16607  fucpropd  16684  xpccatid  16875  1stfcl  16884  2ndfcl  16885  xpcpropd  16895  hofcl  16946  hofpropd  16954  yonedalem3  16967  lsmhash  18164  gsum2dlem2  18416  evlslem4  19556  mdetunilem9  20474  tx2cn  21461  txdis  21483  txlly  21487  txnlly  21488  txhaus  21498  txkgen  21503  txconn  21540  txhmeo  21654  ptuncnv  21658  ptunhmeo  21659  xkohmeo  21666  utop2nei  22101  utop3cls  22102  imasdsf1olem  22225  cnheiborlem  22800  caubl  23152  caublcls  23153  bcthlem2  23168  bcthlem4  23170  bcthlem5  23171  ovolficcss  23284  ovoliunlem1  23316  ovoliunlem2  23317  ovolicc2lem1  23331  ovolicc2lem2  23332  ovolicc2lem4  23334  ovolicc2lem5  23335  dyadmbl  23414  fsumvma  24983  lgsquadlem1  25150  lgsquadlem2  25151  disjxpin  29527  fsumiunle  29703  gsummpt2d  29909  fimaproj  30028  cnre2csqima  30085  tpr2rico  30086  esum2dlem  30282  esumiun  30284  2ndmbfm  30451  sxbrsigalem0  30461  dya2iocnrect  30471  sibfof  30530  sitgaddlemb  30538  hgt750lemb  30862  msubff  31553  msubco  31554  mpst123  31563  msubvrs  31583  funtransport  32263  filnetlem3  32500  elxp8  33349  finixpnum  33524  poimirlem4  33543  poimirlem5  33544  poimirlem6  33545  poimirlem7  33546  poimirlem8  33547  poimirlem9  33548  poimirlem10  33549  poimirlem11  33550  poimirlem12  33551  poimirlem13  33552  poimirlem14  33553  poimirlem15  33554  poimirlem16  33555  poimirlem17  33556  poimirlem18  33557  poimirlem19  33558  poimirlem20  33559  poimirlem21  33560  poimirlem22  33561  poimirlem25  33564  poimirlem26  33565  poimirlem27  33566  poimirlem29  33568  poimirlem30  33569  poimirlem31  33570  poimirlem32  33571  heicant  33574  mblfinlem1  33576  mblfinlem2  33577  ftc2nc  33624  heiborlem8  33747  dvhb1dimN  36591  dvhvaddcl  36701  dvhvaddcomN  36702  dvhvscacl  36709  dvhgrp  36713  dvhlveclem  36714  dibelval1st  36755  dicelval1stN  36794  rmxypairf1o  37793  frmx  37795  cnmetcoval  39708  dvnprodlem1  40479  dvnprodlem2  40480  volicoff  40530  voliooicof  40531  etransclem44  40813  etransclem45  40814  etransclem47  40816  hoissre  41079  hoiprodcl  41082  ovnsubaddlem1  41105  ovnhoilem2  41137  hoicoto2  41140  ovncvr2  41146  opnvonmbllem2  41168  ovolval2lem  41178  ovolval3  41182  ovolval4lem1  41184  ovolval4lem2  41185  ovolval5lem2  41188  ovnovollem1  41191  ovnovollem2  41192  smfpimbor1lem1  41326
  Copyright terms: Public domain W3C validator