MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xp0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xp0 5710
Description: The Cartesian product with the empty set is empty. Part of Theorem 3.13(ii) of [Monk1] p. 37. (Contributed by NM, 12-Apr-2004.)
Assertion
Ref Expression
xp0 (𝐴 × ∅) = ∅

Proof of Theorem xp0
StepHypRef Expression
1 0xp 5356 . . 3 (∅ × 𝐴) = ∅
21cnveqi 5452 . 2 (∅ × 𝐴) =
3 cnvxp 5709 . 2 (∅ × 𝐴) = (𝐴 × ∅)
4 cnv0 5693 . 2 ∅ = ∅
52, 3, 43eqtr3i 2790 1 (𝐴 × ∅) = ∅
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1632  c0 4058   × cxp 5264  ccnv 5265
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pr 5055
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-rab 3059  df-v 3342  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-br 4805  df-opab 4865  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274
This theorem is referenced by:  xpnz  5711  xpdisj2  5714  difxp1  5717  dmxpss  5723  rnxpid  5725  xpcan  5728  unixp  5829  fconst5  6636  dfac5lem3  9158  xpcdaen  9217  fpwwe2lem13  9676  comfffval  16579  0ssc  16718  fuchom  16842  xpccofval  17043  frmdplusg  17612  mulgfval  17763  mulgfvi  17766  ga0  17951  symgplusg  18029  efgval  18350  psrplusg  19603  psrvscafval  19612  opsrle  19697  ply1plusgfvi  19834  txindislem  21658  txhaus  21672  0met  22392  aciunf1  29793  mbfmcst  30651  0rrv  30843  mexval  31727  mdvval  31729  mpstval  31760  dfpo2  31973  elima4  32005  finxp00  33568  isbnd3  33914  zrdivrng  34083
  Copyright terms: Public domain W3C validator