MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xov1plusxeqvd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xov1plusxeqvd 12503
Description: A complex number 𝑋 is positive real iff 𝑋 / (1 + 𝑋) is in (0(,)1). Deduction form. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
xov1plusxeqvd.1 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
xov1plusxeqvd.2 (𝜑𝑋 ≠ -1)
Assertion
Ref Expression
xov1plusxeqvd (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ+ ↔ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)))

Proof of Theorem xov1plusxeqvd
StepHypRef Expression
1 simpr 479 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ ℝ+)
21rpred 12057 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ ℝ)
3 1rp 12021 . . . . . 6 1 ∈ ℝ+
43a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℝ+)
54, 1rpaddcld 12072 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) → (1 + 𝑋) ∈ ℝ+)
62, 5rerpdivcld 12088 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) → (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ ℝ)
75rprecred 12068 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) → (1 / (1 + 𝑋)) ∈ ℝ)
8 1red 10239 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℝ)
9 0red 10225 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) → 0 ∈ ℝ)
108, 2readdcld 10253 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) → (1 + 𝑋) ∈ ℝ)
118, 1ltaddrpd 12090 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) → 1 < (1 + 𝑋))
12 recgt1i 11104 . . . . . . . 8 (((1 + 𝑋) ∈ ℝ ∧ 1 < (1 + 𝑋)) → (0 < (1 / (1 + 𝑋)) ∧ (1 / (1 + 𝑋)) < 1))
1310, 11, 12syl2anc 696 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) → (0 < (1 / (1 + 𝑋)) ∧ (1 / (1 + 𝑋)) < 1))
1413simprd 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) → (1 / (1 + 𝑋)) < 1)
15 1m0e1 11315 . . . . . 6 (1 − 0) = 1
1614, 15syl6breqr 4838 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) → (1 / (1 + 𝑋)) < (1 − 0))
177, 8, 9, 16ltsub13d 10817 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) → 0 < (1 − (1 / (1 + 𝑋))))
18 1cnd 10240 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
19 xov1plusxeqvd.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
2018, 19addcld 10243 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 + 𝑋) ∈ ℂ)
2118negcld 10563 . . . . . . . . 9 (𝜑 → -1 ∈ ℂ)
22 xov1plusxeqvd.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ≠ -1)
2318, 19, 21, 22addneintrd 10427 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 + 𝑋) ≠ (1 + -1))
24 1pneg1e0 11313 . . . . . . . . 9 (1 + -1) = 0
2524a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 + -1) = 0)
2623, 25neeqtrd 2993 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 + 𝑋) ≠ 0)
2720, 18, 20, 26divsubdird 11024 . . . . . 6 (𝜑 → (((1 + 𝑋) − 1) / (1 + 𝑋)) = (((1 + 𝑋) / (1 + 𝑋)) − (1 / (1 + 𝑋))))
2818, 19pncan2d 10578 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1 + 𝑋) − 1) = 𝑋)
2928oveq1d 6820 . . . . . 6 (𝜑 → (((1 + 𝑋) − 1) / (1 + 𝑋)) = (𝑋 / (1 + 𝑋)))
3020, 26dividd 10983 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1 + 𝑋) / (1 + 𝑋)) = 1)
3130oveq1d 6820 . . . . . 6 (𝜑 → (((1 + 𝑋) / (1 + 𝑋)) − (1 / (1 + 𝑋))) = (1 − (1 / (1 + 𝑋))))
3227, 29, 313eqtr3d 2794 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 / (1 + 𝑋)) = (1 − (1 / (1 + 𝑋))))
3332adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) → (𝑋 / (1 + 𝑋)) = (1 − (1 / (1 + 𝑋))))
3417, 33breqtrrd 4824 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) → 0 < (𝑋 / (1 + 𝑋)))
35 1m1e0 11273 . . . . . 6 (1 − 1) = 0
3613simpld 477 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) → 0 < (1 / (1 + 𝑋)))
3735, 36syl5eqbr 4831 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) → (1 − 1) < (1 / (1 + 𝑋)))
388, 8, 7, 37ltsub23d 10816 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) → (1 − (1 / (1 + 𝑋))) < 1)
3933, 38eqbrtrd 4818 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) → (𝑋 / (1 + 𝑋)) < 1)
40 0xr 10270 . . . 4 0 ∈ ℝ*
41 1re 10223 . . . . 5 1 ∈ ℝ
4241rexri 10281 . . . 4 1 ∈ ℝ*
43 elioo2 12401 . . . 4 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1) ↔ ((𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) < 1)))
4440, 42, 43mp2an 710 . . 3 ((𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1) ↔ ((𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) < 1))
456, 34, 39, 44syl3anbrc 1426 . 2 ((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) → (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1))
4628adantr 472 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → ((1 + 𝑋) − 1) = 𝑋)
4720adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (1 + 𝑋) ∈ ℂ)
4826adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (1 + 𝑋) ≠ 0)
4947, 48recrecd 10982 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (1 / (1 / (1 + 𝑋))) = (1 + 𝑋))
5020, 19, 20, 26divsubdird 11024 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((1 + 𝑋) − 𝑋) / (1 + 𝑋)) = (((1 + 𝑋) / (1 + 𝑋)) − (𝑋 / (1 + 𝑋))))
5118, 19pncand 10577 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((1 + 𝑋) − 𝑋) = 1)
5251oveq1d 6820 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((1 + 𝑋) − 𝑋) / (1 + 𝑋)) = (1 / (1 + 𝑋)))
5330oveq1d 6820 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((1 + 𝑋) / (1 + 𝑋)) − (𝑋 / (1 + 𝑋))) = (1 − (𝑋 / (1 + 𝑋))))
5450, 52, 533eqtr3d 2794 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 / (1 + 𝑋)) = (1 − (𝑋 / (1 + 𝑋))))
5554adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (1 / (1 + 𝑋)) = (1 − (𝑋 / (1 + 𝑋))))
56 1red 10239 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → 1 ∈ ℝ)
57 simpr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1))
5857, 44sylib 208 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → ((𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) < 1))
5958simp1d 1136 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ ℝ)
6056, 59resubcld 10642 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (1 − (𝑋 / (1 + 𝑋))) ∈ ℝ)
6155, 60eqeltrd 2831 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (1 / (1 + 𝑋)) ∈ ℝ)
62 0red 10225 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → 0 ∈ ℝ)
6358simp3d 1138 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (𝑋 / (1 + 𝑋)) < 1)
6463, 15syl6breqr 4838 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (𝑋 / (1 + 𝑋)) < (1 − 0))
6559, 56, 62, 64ltsub13d 10817 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → 0 < (1 − (𝑋 / (1 + 𝑋))))
6665, 55breqtrrd 4824 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → 0 < (1 / (1 + 𝑋)))
6761, 66elrpd 12054 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (1 / (1 + 𝑋)) ∈ ℝ+)
6867rprecred 12068 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (1 / (1 / (1 + 𝑋))) ∈ ℝ)
6949, 68eqeltrrd 2832 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (1 + 𝑋) ∈ ℝ)
7069, 56resubcld 10642 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → ((1 + 𝑋) − 1) ∈ ℝ)
7146, 70eqeltrrd 2832 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → 𝑋 ∈ ℝ)
72 1p0e1 11317 . . . . 5 (1 + 0) = 1
7358simp2d 1137 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → 0 < (𝑋 / (1 + 𝑋)))
7435, 73syl5eqbr 4831 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (1 − 1) < (𝑋 / (1 + 𝑋)))
7556, 56, 59, 74ltsub23d 10816 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (1 − (𝑋 / (1 + 𝑋))) < 1)
7655, 75eqbrtrd 4818 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (1 / (1 + 𝑋)) < 1)
7767reclt1d 12070 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → ((1 / (1 + 𝑋)) < 1 ↔ 1 < (1 / (1 / (1 + 𝑋)))))
7876, 77mpbid 222 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → 1 < (1 / (1 / (1 + 𝑋))))
7978, 49breqtrd 4822 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → 1 < (1 + 𝑋))
8072, 79syl5eqbr 4831 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (1 + 0) < (1 + 𝑋))
8162, 71, 56ltadd2d 10377 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (0 < 𝑋 ↔ (1 + 0) < (1 + 𝑋)))
8280, 81mpbird 247 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → 0 < 𝑋)
8371, 82elrpd 12054 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → 𝑋 ∈ ℝ+)
8445, 83impbida 913 1 (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ+ ↔ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1624  wcel 2131  wne 2924   class class class wbr 4796  (class class class)co 6805  cc 10118  cr 10119  0cc0 10120  1c1 10121   + caddc 10123  *cxr 10257   < clt 10258  cmin 10450  -cneg 10451   / cdiv 10868  +crp 12017  (,)cioo 12360
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-op 4320  df-uni 4581  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-id 5166  df-po 5179  df-so 5180  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-er 7903  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-div 10869  df-rp 12018  df-ioo 12364
This theorem is referenced by:  angpieqvdlem  24746
  Copyright terms: Public domain W3C validator