Theorem xnpcan 12287

Description: Extended real version of npcan 10492. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xnpcan	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem xnpcan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 10287	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
2		xnegneg 12250	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → -𝑒-𝑒𝐵 = 𝐵)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → -𝑒-𝑒𝐵 = 𝐵)
4	3	adantl 467	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → -𝑒-𝑒𝐵 = 𝐵)
5	4	oveq2d 6809	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 -𝑒-𝑒𝐵) = ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 𝐵))
6		rexneg 12247	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → -𝑒𝐵 = -𝐵)
7		renegcl 10546	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → -𝐵 ∈ ℝ)
8	6, 7	eqeltrd 2850	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → -𝑒𝐵 ∈ ℝ)
9		xpncan 12286	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 -𝑒-𝑒𝐵) = 𝐴)
10	8, 9	sylan2 580	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 -𝑒-𝑒𝐵) = 𝐴)
11	5, 10	eqtr3d 2807	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) +𝑒 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  (class class class)co 6793  ℝcr 10137  ℝ^*cxr 10275  -cneg 10469  -_𝑒cxne 12148   +_𝑒 cxad 12149

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-po 5170  df-so 5171  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-sub 10470  df-neg 10471  df-xneg 12151  df-xadd 12152

This theorem is referenced by:  xsubge0  12296  xlesubadd  12298  xblss2ps  22426  xblss2  22427  blcld  22530