MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xnn0xaddcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xnn0xaddcl 12259
Description: The extended nonnegative integers are closed under extended addition. (Contributed by AV, 10-Dec-2020.)
Assertion
Ref Expression
xnn0xaddcl ((𝐴 ∈ ℕ0*𝐵 ∈ ℕ0*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℕ0*)

Proof of Theorem xnn0xaddcl
StepHypRef Expression
1 nn0addcl 11520 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0)
21nn0xnn0d 11564 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0*)
3 nn0re 11493 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℝ)
4 nn0re 11493 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℝ)
5 rexadd 12256 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐴 + 𝐵))
65eleq1d 2824 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℕ0* ↔ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0*))
73, 4, 6syl2an 495 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℕ0* ↔ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0*))
82, 7mpbird 247 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℕ0*)
98a1d 25 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐴 ∈ ℕ0*𝐵 ∈ ℕ0*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℕ0*))
10 ianor 510 . . 3 (¬ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ↔ (¬ 𝐴 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐵 ∈ ℕ0))
11 xnn0nnn0pnf 11568 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝐴 = +∞)
12 oveq1 6820 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 = +∞ → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (+∞ +𝑒 𝐵))
13 xnn0xrnemnf 11567 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∈ ℕ0* → (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞))
14 xaddpnf2 12251 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 𝐵) = +∞)
1513, 14syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ∈ ℕ0* → (+∞ +𝑒 𝐵) = +∞)
1612, 15sylan9eq 2814 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = +∞)
1716ex 449 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = +∞ → (𝐵 ∈ ℕ0* → (𝐴 +𝑒 𝐵) = +∞))
1811, 17syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐵 ∈ ℕ0* → (𝐴 +𝑒 𝐵) = +∞))
1918expcom 450 . . . . . . . 8 𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ ℕ0* → (𝐵 ∈ ℕ0* → (𝐴 +𝑒 𝐵) = +∞)))
2019impd 446 . . . . . . 7 𝐴 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ ℕ0*𝐵 ∈ ℕ0*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = +∞))
21 xnn0nnn0pnf 11568 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ ℕ0* ∧ ¬ 𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐵 = +∞)
22 oveq2 6821 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 = +∞ → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐴 +𝑒 +∞))
23 xnn0xrnemnf 11567 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℕ0* → (𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞))
24 xaddpnf1 12250 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) → (𝐴 +𝑒 +∞) = +∞)
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℕ0* → (𝐴 +𝑒 +∞) = +∞)
2622, 25sylan9eq 2814 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 = +∞ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = +∞)
2726ex 449 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 = +∞ → (𝐴 ∈ ℕ0* → (𝐴 +𝑒 𝐵) = +∞))
2821, 27syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℕ0* ∧ ¬ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∈ ℕ0* → (𝐴 +𝑒 𝐵) = +∞))
2928expcom 450 . . . . . . . . 9 𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵 ∈ ℕ0* → (𝐴 ∈ ℕ0* → (𝐴 +𝑒 𝐵) = +∞)))
3029com23 86 . . . . . . . 8 𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ ℕ0* → (𝐵 ∈ ℕ0* → (𝐴 +𝑒 𝐵) = +∞)))
3130impd 446 . . . . . . 7 𝐵 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ ℕ0*𝐵 ∈ ℕ0*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = +∞))
3220, 31jaoi 393 . . . . . 6 ((¬ 𝐴 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐴 ∈ ℕ0*𝐵 ∈ ℕ0*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = +∞))
3332imp 444 . . . . 5 (((¬ 𝐴 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴 ∈ ℕ0*𝐵 ∈ ℕ0*)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = +∞)
34 pnf0xnn0 11562 . . . . 5 +∞ ∈ ℕ0*
3533, 34syl6eqel 2847 . . . 4 (((¬ 𝐴 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴 ∈ ℕ0*𝐵 ∈ ℕ0*)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℕ0*)
3635ex 449 . . 3 ((¬ 𝐴 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐴 ∈ ℕ0*𝐵 ∈ ℕ0*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℕ0*))
3710, 36sylbi 207 . 2 (¬ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐴 ∈ ℕ0*𝐵 ∈ ℕ0*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℕ0*))
389, 37pm2.61i 176 1 ((𝐴 ∈ ℕ0*𝐵 ∈ ℕ0*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℕ0*)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  (class class class)co 6813  cr 10127   + caddc 10131  +∞cpnf 10263  -∞cmnf 10264  *cxr 10265  0cn0 11484  0*cxnn0 11555   +𝑒 cxad 12137
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-nn 11213  df-n0 11485  df-xnn0 11556  df-xadd 12140
This theorem is referenced by:  vtxdgf  26577  vtxdginducedm1  26649
  Copyright terms: Public domain W3C validator