MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xnn0nemnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xnn0nemnf 11581
Description: No extended nonnegative integer equals negative infinity. (Contributed by AV, 10-Dec-2020.)
Assertion
Ref Expression
xnn0nemnf (𝐴 ∈ ℕ0*𝐴 ≠ -∞)

Proof of Theorem xnn0nemnf
StepHypRef Expression
1 elxnn0 11572 . 2 (𝐴 ∈ ℕ0* ↔ (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 = +∞))
2 nn0re 11508 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℝ)
32renemnfd 10297 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ≠ -∞)
4 pnfnemnf 10300 . . . 4 +∞ ≠ -∞
5 neeq1 3005 . . . 4 (𝐴 = +∞ → (𝐴 ≠ -∞ ↔ +∞ ≠ -∞))
64, 5mpbiri 248 . . 3 (𝐴 = +∞ → 𝐴 ≠ -∞)
73, 6jaoi 846 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐴 = +∞) → 𝐴 ≠ -∞)
81, 7sylbi 207 1 (𝐴 ∈ ℕ0*𝐴 ≠ -∞)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 836   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  +∞cpnf 10277  -∞cmnf 10278  0cn0 11499  0*cxnn0 11570
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-ov 6799  df-om 7217  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-nn 11227  df-n0 11500  df-xnn0 11571
This theorem is referenced by:  xnn0xrnemnf  11582
  Copyright terms: Public domain W3C validator