MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xnegneg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xnegneg 12234
Description: Extended real version of negneg 10519. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xnegneg (𝐴 ∈ ℝ* → -𝑒-𝑒𝐴 = 𝐴)

Proof of Theorem xnegneg
StepHypRef Expression
1 elxr 12139 . 2 (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
2 rexneg 12231 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒𝐴 = -𝐴)
3 xnegeq 12227 . . . . 5 (-𝑒𝐴 = -𝐴 → -𝑒-𝑒𝐴 = -𝑒-𝐴)
42, 3syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒-𝑒𝐴 = -𝑒-𝐴)
5 renegcl 10532 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
6 rexneg 12231 . . . . 5 (-𝐴 ∈ ℝ → -𝑒-𝐴 = --𝐴)
75, 6syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒-𝐴 = --𝐴)
8 recn 10214 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
98negnegd 10571 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → --𝐴 = 𝐴)
104, 7, 93eqtrd 2794 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒-𝑒𝐴 = 𝐴)
11 xnegmnf 12230 . . . 4 -𝑒-∞ = +∞
12 xnegeq 12227 . . . . . 6 (𝐴 = +∞ → -𝑒𝐴 = -𝑒+∞)
13 xnegpnf 12229 . . . . . 6 -𝑒+∞ = -∞
1412, 13syl6eq 2806 . . . . 5 (𝐴 = +∞ → -𝑒𝐴 = -∞)
15 xnegeq 12227 . . . . 5 (-𝑒𝐴 = -∞ → -𝑒-𝑒𝐴 = -𝑒-∞)
1614, 15syl 17 . . . 4 (𝐴 = +∞ → -𝑒-𝑒𝐴 = -𝑒-∞)
17 id 22 . . . 4 (𝐴 = +∞ → 𝐴 = +∞)
1811, 16, 173eqtr4a 2816 . . 3 (𝐴 = +∞ → -𝑒-𝑒𝐴 = 𝐴)
19 xnegeq 12227 . . . . . 6 (𝐴 = -∞ → -𝑒𝐴 = -𝑒-∞)
2019, 11syl6eq 2806 . . . . 5 (𝐴 = -∞ → -𝑒𝐴 = +∞)
21 xnegeq 12227 . . . . 5 (-𝑒𝐴 = +∞ → -𝑒-𝑒𝐴 = -𝑒+∞)
2220, 21syl 17 . . . 4 (𝐴 = -∞ → -𝑒-𝑒𝐴 = -𝑒+∞)
23 id 22 . . . 4 (𝐴 = -∞ → 𝐴 = -∞)
2413, 22, 233eqtr4a 2816 . . 3 (𝐴 = -∞ → -𝑒-𝑒𝐴 = 𝐴)
2510, 18, 243jaoi 1536 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) → -𝑒-𝑒𝐴 = 𝐴)
261, 25sylbi 207 1 (𝐴 ∈ ℝ* → -𝑒-𝑒𝐴 = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3o 1071   = wceq 1628  wcel 2135  cr 10123  +∞cpnf 10259  -∞cmnf 10260  *cxr 10261  -cneg 10455  -𝑒cxne 12132
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1867  ax-4 1882  ax-5 1984  ax-6 2050  ax-7 2086  ax-8 2137  ax-9 2144  ax-10 2164  ax-11 2179  ax-12 2192  ax-13 2387  ax-ext 2736  ax-sep 4929  ax-nul 4937  ax-pow 4988  ax-pr 5051  ax-un 7110  ax-cnex 10180  ax-resscn 10181  ax-1cn 10182  ax-icn 10183  ax-addcl 10184  ax-addrcl 10185  ax-mulcl 10186  ax-mulrcl 10187  ax-mulcom 10188  ax-addass 10189  ax-mulass 10190  ax-distr 10191  ax-i2m1 10192  ax-1ne0 10193  ax-1rid 10194  ax-rnegex 10195  ax-rrecex 10196  ax-cnre 10197  ax-pre-lttri 10198  ax-pre-lttrn 10199  ax-pre-ltadd 10200
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1631  df-ex 1850  df-nf 1855  df-sb 2043  df-eu 2607  df-mo 2608  df-clab 2743  df-cleq 2749  df-clel 2752  df-nfc 2887  df-ne 2929  df-nel 3032  df-ral 3051  df-rex 3052  df-reu 3053  df-rab 3055  df-v 3338  df-sbc 3573  df-csb 3671  df-dif 3714  df-un 3716  df-in 3718  df-ss 3725  df-nul 4055  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4585  df-br 4801  df-opab 4861  df-mpt 4878  df-id 5170  df-po 5183  df-so 5184  df-xp 5268  df-rel 5269  df-cnv 5270  df-co 5271  df-dm 5272  df-rn 5273  df-res 5274  df-ima 5275  df-iota 6008  df-fun 6047  df-fn 6048  df-f 6049  df-f1 6050  df-fo 6051  df-f1o 6052  df-fv 6053  df-riota 6770  df-ov 6812  df-oprab 6813  df-mpt2 6814  df-er 7907  df-en 8118  df-dom 8119  df-sdom 8120  df-pnf 10264  df-mnf 10265  df-xr 10266  df-ltxr 10267  df-sub 10456  df-neg 10457  df-xneg 12135
This theorem is referenced by:  xneg11  12235  xltneg  12237  xnegdi  12267  xnpcan  12271  xposdif  12281  xrsxmet  22809  xrhmeo  22942  xaddeq0  29823  xrge0npcan  29999  carsgclctunlem2  30686  xnegnegi  40160  xnegnegd  40163  xnegrecl2  40184  supminfxr2  40193  supminfxrrnmpt  40195
  Copyright terms: Public domain W3C validator