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Theorem xnegdi 12116
Description: Extended real version of xnegdi 12116. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xnegdi ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → -𝑒(𝐴 +𝑒 𝐵) = (-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵))

Proof of Theorem xnegdi
StepHypRef Expression
1 elxr 11988 . 2 (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
2 elxr 11988 . . . 4 (𝐵 ∈ ℝ* ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞))
3 recn 10064 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
4 recn 10064 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
5 negdi 10376 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → -(𝐴 + 𝐵) = (-𝐴 + -𝐵))
63, 4, 5syl2an 493 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → -(𝐴 + 𝐵) = (-𝐴 + -𝐵))
7 readdcl 10057 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
8 rexneg 12080 . . . . . . . 8 ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ → -𝑒(𝐴 + 𝐵) = -(𝐴 + 𝐵))
97, 8syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → -𝑒(𝐴 + 𝐵) = -(𝐴 + 𝐵))
10 renegcl 10382 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
11 renegcl 10382 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℝ → -𝐵 ∈ ℝ)
12 rexadd 12101 . . . . . . . 8 ((-𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℝ) → (-𝐴 +𝑒 -𝐵) = (-𝐴 + -𝐵))
1310, 11, 12syl2an 493 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (-𝐴 +𝑒 -𝐵) = (-𝐴 + -𝐵))
146, 9, 133eqtr4d 2695 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → -𝑒(𝐴 + 𝐵) = (-𝐴 +𝑒 -𝐵))
15 rexadd 12101 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐴 + 𝐵))
16 xnegeq 12076 . . . . . . 7 ((𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐴 + 𝐵) → -𝑒(𝐴 +𝑒 𝐵) = -𝑒(𝐴 + 𝐵))
1715, 16syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → -𝑒(𝐴 +𝑒 𝐵) = -𝑒(𝐴 + 𝐵))
18 rexneg 12080 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒𝐴 = -𝐴)
19 rexneg 12080 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℝ → -𝑒𝐵 = -𝐵)
2018, 19oveqan12d 6709 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) = (-𝐴 +𝑒 -𝐵))
2114, 17, 203eqtr4d 2695 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → -𝑒(𝐴 +𝑒 𝐵) = (-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵))
22 xnegpnf 12078 . . . . . 6 -𝑒+∞ = -∞
23 oveq2 6698 . . . . . . . 8 (𝐵 = +∞ → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐴 +𝑒 +∞))
24 rexr 10123 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
25 renemnf 10126 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ -∞)
26 xaddpnf1 12095 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) → (𝐴 +𝑒 +∞) = +∞)
2724, 25, 26syl2anc 694 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 +𝑒 +∞) = +∞)
2823, 27sylan9eqr 2707 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = +∞)
29 xnegeq 12076 . . . . . . 7 ((𝐴 +𝑒 𝐵) = +∞ → -𝑒(𝐴 +𝑒 𝐵) = -𝑒+∞)
3028, 29syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → -𝑒(𝐴 +𝑒 𝐵) = -𝑒+∞)
31 xnegeq 12076 . . . . . . . . 9 (𝐵 = +∞ → -𝑒𝐵 = -𝑒+∞)
3231, 22syl6eq 2701 . . . . . . . 8 (𝐵 = +∞ → -𝑒𝐵 = -∞)
3332oveq2d 6706 . . . . . . 7 (𝐵 = +∞ → (-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) = (-𝑒𝐴 +𝑒 -∞))
3418, 10eqeltrd 2730 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒𝐴 ∈ ℝ)
35 rexr 10123 . . . . . . . . 9 (-𝑒𝐴 ∈ ℝ → -𝑒𝐴 ∈ ℝ*)
36 renepnf 10125 . . . . . . . . 9 (-𝑒𝐴 ∈ ℝ → -𝑒𝐴 ≠ +∞)
37 xaddmnf1 12097 . . . . . . . . 9 ((-𝑒𝐴 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝐴 ≠ +∞) → (-𝑒𝐴 +𝑒 -∞) = -∞)
3835, 36, 37syl2anc 694 . . . . . . . 8 (-𝑒𝐴 ∈ ℝ → (-𝑒𝐴 +𝑒 -∞) = -∞)
3934, 38syl 17 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (-𝑒𝐴 +𝑒 -∞) = -∞)
4033, 39sylan9eqr 2707 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → (-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) = -∞)
4122, 30, 403eqtr4a 2711 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → -𝑒(𝐴 +𝑒 𝐵) = (-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵))
42 xnegmnf 12079 . . . . . 6 -𝑒-∞ = +∞
43 oveq2 6698 . . . . . . . 8 (𝐵 = -∞ → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐴 +𝑒 -∞))
44 renepnf 10125 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ +∞)
45 xaddmnf1 12097 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) → (𝐴 +𝑒 -∞) = -∞)
4624, 44, 45syl2anc 694 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 +𝑒 -∞) = -∞)
4743, 46sylan9eqr 2707 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = -∞)
48 xnegeq 12076 . . . . . . 7 ((𝐴 +𝑒 𝐵) = -∞ → -𝑒(𝐴 +𝑒 𝐵) = -𝑒-∞)
4947, 48syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → -𝑒(𝐴 +𝑒 𝐵) = -𝑒-∞)
50 xnegeq 12076 . . . . . . . . 9 (𝐵 = -∞ → -𝑒𝐵 = -𝑒-∞)
5150, 42syl6eq 2701 . . . . . . . 8 (𝐵 = -∞ → -𝑒𝐵 = +∞)
5251oveq2d 6706 . . . . . . 7 (𝐵 = -∞ → (-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) = (-𝑒𝐴 +𝑒 +∞))
53 renemnf 10126 . . . . . . . . 9 (-𝑒𝐴 ∈ ℝ → -𝑒𝐴 ≠ -∞)
54 xaddpnf1 12095 . . . . . . . . 9 ((-𝑒𝐴 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝐴 ≠ -∞) → (-𝑒𝐴 +𝑒 +∞) = +∞)
5535, 53, 54syl2anc 694 . . . . . . . 8 (-𝑒𝐴 ∈ ℝ → (-𝑒𝐴 +𝑒 +∞) = +∞)
5634, 55syl 17 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (-𝑒𝐴 +𝑒 +∞) = +∞)
5752, 56sylan9eqr 2707 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → (-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) = +∞)
5842, 49, 573eqtr4a 2711 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → -𝑒(𝐴 +𝑒 𝐵) = (-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵))
5921, 41, 583jaodan 1434 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞)) → -𝑒(𝐴 +𝑒 𝐵) = (-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵))
602, 59sylan2b 491 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → -𝑒(𝐴 +𝑒 𝐵) = (-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵))
61 xneg0 12081 . . . . . . 7 -𝑒0 = 0
62 simpr 476 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 = -∞) → 𝐵 = -∞)
6362oveq2d 6706 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 = -∞) → (+∞ +𝑒 𝐵) = (+∞ +𝑒 -∞))
64 pnfaddmnf 12099 . . . . . . . . 9 (+∞ +𝑒 -∞) = 0
6563, 64syl6eq 2701 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 = -∞) → (+∞ +𝑒 𝐵) = 0)
66 xnegeq 12076 . . . . . . . 8 ((+∞ +𝑒 𝐵) = 0 → -𝑒(+∞ +𝑒 𝐵) = -𝑒0)
6765, 66syl 17 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 = -∞) → -𝑒(+∞ +𝑒 𝐵) = -𝑒0)
6851adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 = -∞) → -𝑒𝐵 = +∞)
6968oveq2d 6706 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 = -∞) → (-∞ +𝑒 -𝑒𝐵) = (-∞ +𝑒 +∞))
70 mnfaddpnf 12100 . . . . . . . 8 (-∞ +𝑒 +∞) = 0
7169, 70syl6eq 2701 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 = -∞) → (-∞ +𝑒 -𝑒𝐵) = 0)
7261, 67, 713eqtr4a 2711 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 = -∞) → -𝑒(+∞ +𝑒 𝐵) = (-∞ +𝑒 -𝑒𝐵))
73 xaddpnf2 12096 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 𝐵) = +∞)
74 xnegeq 12076 . . . . . . . 8 ((+∞ +𝑒 𝐵) = +∞ → -𝑒(+∞ +𝑒 𝐵) = -𝑒+∞)
7573, 74syl 17 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) → -𝑒(+∞ +𝑒 𝐵) = -𝑒+∞)
76 xnegcl 12082 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℝ* → -𝑒𝐵 ∈ ℝ*)
7776adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) → -𝑒𝐵 ∈ ℝ*)
78 xnegeq 12076 . . . . . . . . . . . 12 (-𝑒𝐵 = +∞ → -𝑒-𝑒𝐵 = -𝑒+∞)
7978, 22syl6eq 2701 . . . . . . . . . . 11 (-𝑒𝐵 = +∞ → -𝑒-𝑒𝐵 = -∞)
80 xnegneg 12083 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ∈ ℝ* → -𝑒-𝑒𝐵 = 𝐵)
8180eqeq1d 2653 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ℝ* → (-𝑒-𝑒𝐵 = -∞ ↔ 𝐵 = -∞))
8279, 81syl5ib 234 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℝ* → (-𝑒𝐵 = +∞ → 𝐵 = -∞))
8382necon3d 2844 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐵 ≠ -∞ → -𝑒𝐵 ≠ +∞))
8483imp 444 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) → -𝑒𝐵 ≠ +∞)
85 xaddmnf2 12098 . . . . . . . 8 ((-𝑒𝐵 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝐵 ≠ +∞) → (-∞ +𝑒 -𝑒𝐵) = -∞)
8677, 84, 85syl2anc 694 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) → (-∞ +𝑒 -𝑒𝐵) = -∞)
8722, 75, 863eqtr4a 2711 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) → -𝑒(+∞ +𝑒 𝐵) = (-∞ +𝑒 -𝑒𝐵))
8872, 87pm2.61dane 2910 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ* → -𝑒(+∞ +𝑒 𝐵) = (-∞ +𝑒 -𝑒𝐵))
8988adantl 481 . . . 4 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → -𝑒(+∞ +𝑒 𝐵) = (-∞ +𝑒 -𝑒𝐵))
90 simpl 472 . . . . . 6 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐴 = +∞)
9190oveq1d 6705 . . . . 5 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (+∞ +𝑒 𝐵))
92 xnegeq 12076 . . . . 5 ((𝐴 +𝑒 𝐵) = (+∞ +𝑒 𝐵) → -𝑒(𝐴 +𝑒 𝐵) = -𝑒(+∞ +𝑒 𝐵))
9391, 92syl 17 . . . 4 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → -𝑒(𝐴 +𝑒 𝐵) = -𝑒(+∞ +𝑒 𝐵))
94 xnegeq 12076 . . . . . . 7 (𝐴 = +∞ → -𝑒𝐴 = -𝑒+∞)
9594adantr 480 . . . . . 6 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → -𝑒𝐴 = -𝑒+∞)
9695, 22syl6eq 2701 . . . . 5 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → -𝑒𝐴 = -∞)
9796oveq1d 6705 . . . 4 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) = (-∞ +𝑒 -𝑒𝐵))
9889, 93, 973eqtr4d 2695 . . 3 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → -𝑒(𝐴 +𝑒 𝐵) = (-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵))
99 simpr 476 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 = +∞) → 𝐵 = +∞)
10099oveq2d 6706 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 = +∞) → (-∞ +𝑒 𝐵) = (-∞ +𝑒 +∞))
101100, 70syl6eq 2701 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 = +∞) → (-∞ +𝑒 𝐵) = 0)
102 xnegeq 12076 . . . . . . . 8 ((-∞ +𝑒 𝐵) = 0 → -𝑒(-∞ +𝑒 𝐵) = -𝑒0)
103101, 102syl 17 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 = +∞) → -𝑒(-∞ +𝑒 𝐵) = -𝑒0)
10432adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 = +∞) → -𝑒𝐵 = -∞)
105104oveq2d 6706 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 = +∞) → (+∞ +𝑒 -𝑒𝐵) = (+∞ +𝑒 -∞))
106105, 64syl6eq 2701 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 = +∞) → (+∞ +𝑒 -𝑒𝐵) = 0)
10761, 103, 1063eqtr4a 2711 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 = +∞) → -𝑒(-∞ +𝑒 𝐵) = (+∞ +𝑒 -𝑒𝐵))
108 xaddmnf2 12098 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) → (-∞ +𝑒 𝐵) = -∞)
109 xnegeq 12076 . . . . . . . 8 ((-∞ +𝑒 𝐵) = -∞ → -𝑒(-∞ +𝑒 𝐵) = -𝑒-∞)
110108, 109syl 17 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) → -𝑒(-∞ +𝑒 𝐵) = -𝑒-∞)
11176adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) → -𝑒𝐵 ∈ ℝ*)
112 xnegeq 12076 . . . . . . . . . . . 12 (-𝑒𝐵 = -∞ → -𝑒-𝑒𝐵 = -𝑒-∞)
113112, 42syl6eq 2701 . . . . . . . . . . 11 (-𝑒𝐵 = -∞ → -𝑒-𝑒𝐵 = +∞)
11480eqeq1d 2653 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ℝ* → (-𝑒-𝑒𝐵 = +∞ ↔ 𝐵 = +∞))
115113, 114syl5ib 234 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℝ* → (-𝑒𝐵 = -∞ → 𝐵 = +∞))
116115necon3d 2844 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐵 ≠ +∞ → -𝑒𝐵 ≠ -∞))
117116imp 444 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) → -𝑒𝐵 ≠ -∞)
118 xaddpnf2 12096 . . . . . . . 8 ((-𝑒𝐵 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝐵 ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 -𝑒𝐵) = +∞)
119111, 117, 118syl2anc 694 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) → (+∞ +𝑒 -𝑒𝐵) = +∞)
12042, 110, 1193eqtr4a 2711 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) → -𝑒(-∞ +𝑒 𝐵) = (+∞ +𝑒 -𝑒𝐵))
121107, 120pm2.61dane 2910 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ* → -𝑒(-∞ +𝑒 𝐵) = (+∞ +𝑒 -𝑒𝐵))
122121adantl 481 . . . 4 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → -𝑒(-∞ +𝑒 𝐵) = (+∞ +𝑒 -𝑒𝐵))
123 simpl 472 . . . . . 6 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐴 = -∞)
124123oveq1d 6705 . . . . 5 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (-∞ +𝑒 𝐵))
125 xnegeq 12076 . . . . 5 ((𝐴 +𝑒 𝐵) = (-∞ +𝑒 𝐵) → -𝑒(𝐴 +𝑒 𝐵) = -𝑒(-∞ +𝑒 𝐵))
126124, 125syl 17 . . . 4 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → -𝑒(𝐴 +𝑒 𝐵) = -𝑒(-∞ +𝑒 𝐵))
127 xnegeq 12076 . . . . . . 7 (𝐴 = -∞ → -𝑒𝐴 = -𝑒-∞)
128127adantr 480 . . . . . 6 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → -𝑒𝐴 = -𝑒-∞)
129128, 42syl6eq 2701 . . . . 5 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → -𝑒𝐴 = +∞)
130129oveq1d 6705 . . . 4 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) = (+∞ +𝑒 -𝑒𝐵))
131122, 126, 1303eqtr4d 2695 . . 3 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → -𝑒(𝐴 +𝑒 𝐵) = (-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵))
13260, 98, 1313jaoian 1433 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → -𝑒(𝐴 +𝑒 𝐵) = (-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵))
1331, 132sylanb 488 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → -𝑒(𝐴 +𝑒 𝐵) = (-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3o 1053   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974   + caddc 9977  +∞cpnf 10109  -∞cmnf 10110  *cxr 10111  -cneg 10305  -𝑒cxne 11981   +𝑒 cxad 11982
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-sub 10306  df-neg 10307  df-xneg 11984  df-xadd 11985
This theorem is referenced by:  xaddass2  12118  xposdif  12130  xadddi  12163  xrsxmet  22659
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