MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xmulgt0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xmulgt0 12151
Description: Extended real version of mulgt0 10153. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xmulgt0 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵)) → 0 < (𝐴 ·e 𝐵))

Proof of Theorem xmulgt0
StepHypRef Expression
1 simpr 476 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
2 simpr 476 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵) → 0 < 𝐵)
31, 2anim12i 589 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵)) → (0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵))
4 mulgt0 10153 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → 0 < (𝐴 · 𝐵))
54an4s 886 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵)) → 0 < (𝐴 · 𝐵))
65ancoms 468 . . . . . 6 (((0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → 0 < (𝐴 · 𝐵))
7 rexmul 12139 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ·e 𝐵) = (𝐴 · 𝐵))
87adantl 481 . . . . . 6 (((0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → (𝐴 ·e 𝐵) = (𝐴 · 𝐵))
96, 8breqtrrd 4713 . . . . 5 (((0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → 0 < (𝐴 ·e 𝐵))
103, 9sylan 487 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → 0 < (𝐴 ·e 𝐵))
1110anassrs 681 . . 3 (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 0 < (𝐴 ·e 𝐵))
12 0ltpnf 11994 . . . . 5 0 < +∞
13 oveq2 6698 . . . . . 6 (𝐵 = +∞ → (𝐴 ·e 𝐵) = (𝐴 ·e +∞))
14 xmulpnf1 12142 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 ·e +∞) = +∞)
1514adantr 480 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵)) → (𝐴 ·e +∞) = +∞)
1613, 15sylan9eqr 2707 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵)) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 ·e 𝐵) = +∞)
1712, 16syl5breqr 4723 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵)) ∧ 𝐵 = +∞) → 0 < (𝐴 ·e 𝐵))
1817adantlr 751 . . 3 (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 = +∞) → 0 < (𝐴 ·e 𝐵))
19 simplrr 818 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 0 < 𝐵)
20 xmulasslem2 12150 . . . 4 ((0 < 𝐵𝐵 = -∞) → 0 < (𝐴 ·e 𝐵))
2119, 20sylan 487 . . 3 (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 = -∞) → 0 < (𝐴 ·e 𝐵))
22 simprl 809 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
23 elxr 11988 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ* ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞))
2422, 23sylib 208 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵)) → (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞))
2524adantr 480 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞))
2611, 18, 21, 25mpjao3dan 1435 . 2 ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 0 < (𝐴 ·e 𝐵))
27 oveq1 6697 . . . 4 (𝐴 = +∞ → (𝐴 ·e 𝐵) = (+∞ ·e 𝐵))
28 xmulpnf2 12143 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵) → (+∞ ·e 𝐵) = +∞)
2928adantl 481 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵)) → (+∞ ·e 𝐵) = +∞)
3027, 29sylan9eqr 2707 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵)) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 ·e 𝐵) = +∞)
3112, 30syl5breqr 4723 . 2 ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵)) ∧ 𝐴 = +∞) → 0 < (𝐴 ·e 𝐵))
32 simplr 807 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵)) → 0 < 𝐴)
33 xmulasslem2 12150 . . 3 ((0 < 𝐴𝐴 = -∞) → 0 < (𝐴 ·e 𝐵))
3432, 33sylan 487 . 2 ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵)) ∧ 𝐴 = -∞) → 0 < (𝐴 ·e 𝐵))
35 simpll 805 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
36 elxr 11988 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
3735, 36sylib 208 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵)) → (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
3826, 31, 34, 37mpjao3dan 1435 1 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵)) → 0 < (𝐴 ·e 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3o 1053   = wceq 1523  wcel 2030   class class class wbr 4685  (class class class)co 6690  cr 9973  0cc0 9974   · cmul 9979  +∞cpnf 10109  -∞cmnf 10110  *cxr 10111   < clt 10112   ·e cxmu 11983
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-xmul 11986
This theorem is referenced by:  xmulge0  12152  xmulasslem3  12154
  Copyright terms: Public domain W3C validator