MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xmulge0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xmulge0 12278
Description: Extended real version of mulge0 10709. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xmulge0 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 ·e 𝐵))

Proof of Theorem xmulge0
StepHypRef Expression
1 xmulgt0 12277 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵)) → 0 < (𝐴 ·e 𝐵))
21an4s 904 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵)) → 0 < (𝐴 ·e 𝐵))
3 0xr 10249 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
4 xmulcl 12267 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℝ*)
54adantr 472 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵)) → (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℝ*)
6 xrltle 12146 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℝ*) → (0 < (𝐴 ·e 𝐵) → 0 ≤ (𝐴 ·e 𝐵)))
73, 5, 6sylancr 698 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵)) → (0 < (𝐴 ·e 𝐵) → 0 ≤ (𝐴 ·e 𝐵)))
82, 7mpd 15 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 ·e 𝐵))
98ex 449 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵) → 0 ≤ (𝐴 ·e 𝐵)))
109ad2ant2r 800 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵) → 0 ≤ (𝐴 ·e 𝐵)))
1110impl 651 . . 3 (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵)) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 < 𝐵) → 0 ≤ (𝐴 ·e 𝐵))
12 0le0 11273 . . . . 5 0 ≤ 0
13 oveq2 6809 . . . . . . 7 (0 = 𝐵 → (𝐴 ·e 0) = (𝐴 ·e 𝐵))
1413eqcomd 2754 . . . . . 6 (0 = 𝐵 → (𝐴 ·e 𝐵) = (𝐴 ·e 0))
15 xmul01 12261 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ·e 0) = 0)
1615ad2antrr 764 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (𝐴 ·e 0) = 0)
1714, 16sylan9eqr 2804 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵)) ∧ 0 = 𝐵) → (𝐴 ·e 𝐵) = 0)
1812, 17syl5breqr 4830 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵)) ∧ 0 = 𝐵) → 0 ≤ (𝐴 ·e 𝐵))
1918adantlr 753 . . 3 (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵)) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 = 𝐵) → 0 ≤ (𝐴 ·e 𝐵))
20 xrleloe 12141 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (0 ≤ 𝐵 ↔ (0 < 𝐵 ∨ 0 = 𝐵)))
213, 20mpan 708 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ* → (0 ≤ 𝐵 ↔ (0 < 𝐵 ∨ 0 = 𝐵)))
2221biimpa 502 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) → (0 < 𝐵 ∨ 0 = 𝐵))
2322ad2antlr 765 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵)) ∧ 0 < 𝐴) → (0 < 𝐵 ∨ 0 = 𝐵))
2411, 19, 23mpjaodan 862 . 2 ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵)) ∧ 0 < 𝐴) → 0 ≤ (𝐴 ·e 𝐵))
25 oveq1 6808 . . . . 5 (0 = 𝐴 → (0 ·e 𝐵) = (𝐴 ·e 𝐵))
2625eqcomd 2754 . . . 4 (0 = 𝐴 → (𝐴 ·e 𝐵) = (0 ·e 𝐵))
27 xmul02 12262 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ* → (0 ·e 𝐵) = 0)
2827ad2antrl 766 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (0 ·e 𝐵) = 0)
2926, 28sylan9eqr 2804 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵)) ∧ 0 = 𝐴) → (𝐴 ·e 𝐵) = 0)
3012, 29syl5breqr 4830 . 2 ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵)) ∧ 0 = 𝐴) → 0 ≤ (𝐴 ·e 𝐵))
31 xrleloe 12141 . . . . 5 ((0 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (0 ≤ 𝐴 ↔ (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴)))
323, 31mpan 708 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ* → (0 ≤ 𝐴 ↔ (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴)))
3332biimpa 502 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) → (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴))
3433adantr 472 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴))
3524, 30, 34mpjaodan 862 1 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 ·e 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383   = wceq 1620  wcel 2127   class class class wbr 4792  (class class class)co 6801  0cc0 10099  *cxr 10236   < clt 10237  cle 10238   ·e cxmu 12109
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-op 4316  df-uni 4577  df-iun 4662  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-id 5162  df-po 5175  df-so 5176  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-1st 7321  df-2nd 7322  df-er 7899  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-xmul 12112
This theorem is referenced by:  xadddi2  12291  ge0xmulcl  12451
  Copyright terms: Public domain W3C validator