Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xmstrkgc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xmstrkgc 25747
 Description: Any metric space fulfills Tarski's geometry axioms of congruence. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Mar-2019.)
Assertion
Ref Expression
xmstrkgc (𝐺 ∈ ∞MetSp → 𝐺 ∈ TarskiGC)

Proof of Theorem xmstrkgc
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3207 . 2 (𝐺 ∈ ∞MetSp → 𝐺 ∈ V)
2 eqid 2620 . . . . . 6 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
3 eqid 2620 . . . . . 6 (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
42, 3xmssym 22251 . . . . 5 ((𝐺 ∈ ∞MetSp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥(dist‘𝐺)𝑦) = (𝑦(dist‘𝐺)𝑥))
543expb 1264 . . . 4 ((𝐺 ∈ ∞MetSp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑥(dist‘𝐺)𝑦) = (𝑦(dist‘𝐺)𝑥))
65ralrimivva 2968 . . 3 (𝐺 ∈ ∞MetSp → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐺)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)(𝑥(dist‘𝐺)𝑦) = (𝑦(dist‘𝐺)𝑥))
7 simpl 473 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ ∞MetSp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → 𝐺 ∈ ∞MetSp)
8 simpr3 1067 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ ∞MetSp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))
9 equid 1937 . . . . . . . . 9 𝑧 = 𝑧
102, 3xmseq0 22250 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ ∞MetSp ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝑧(dist‘𝐺)𝑧) = 0 ↔ 𝑧 = 𝑧))
119, 10mpbiri 248 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ ∞MetSp ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑧(dist‘𝐺)𝑧) = 0)
127, 8, 8, 11syl3anc 1324 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ ∞MetSp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑧(dist‘𝐺)𝑧) = 0)
1312eqeq2d 2630 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ ∞MetSp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → ((𝑥(dist‘𝐺)𝑦) = (𝑧(dist‘𝐺)𝑧) ↔ (𝑥(dist‘𝐺)𝑦) = 0))
142, 3xmseq0 22250 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ ∞MetSp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝑥(dist‘𝐺)𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
15143adant3r3 1274 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ ∞MetSp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → ((𝑥(dist‘𝐺)𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
1613, 15bitrd 268 . . . . 5 ((𝐺 ∈ ∞MetSp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → ((𝑥(dist‘𝐺)𝑦) = (𝑧(dist‘𝐺)𝑧) ↔ 𝑥 = 𝑦))
1716biimpd 219 . . . 4 ((𝐺 ∈ ∞MetSp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → ((𝑥(dist‘𝐺)𝑦) = (𝑧(dist‘𝐺)𝑧) → 𝑥 = 𝑦))
1817ralrimivvva 2969 . . 3 (𝐺 ∈ ∞MetSp → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐺)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)∀𝑧 ∈ (Base‘𝐺)((𝑥(dist‘𝐺)𝑦) = (𝑧(dist‘𝐺)𝑧) → 𝑥 = 𝑦))
196, 18jca 554 . 2 (𝐺 ∈ ∞MetSp → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝐺)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)(𝑥(dist‘𝐺)𝑦) = (𝑦(dist‘𝐺)𝑥) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐺)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)∀𝑧 ∈ (Base‘𝐺)((𝑥(dist‘𝐺)𝑦) = (𝑧(dist‘𝐺)𝑧) → 𝑥 = 𝑦)))
20 eqid 2620 . . 3 (Itv‘𝐺) = (Itv‘𝐺)
212, 3, 20istrkgc 25334 . 2 (𝐺 ∈ TarskiGC ↔ (𝐺 ∈ V ∧ (∀𝑥 ∈ (Base‘𝐺)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)(𝑥(dist‘𝐺)𝑦) = (𝑦(dist‘𝐺)𝑥) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐺)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)∀𝑧 ∈ (Base‘𝐺)((𝑥(dist‘𝐺)𝑦) = (𝑧(dist‘𝐺)𝑧) → 𝑥 = 𝑦))))
221, 19, 21sylanbrc 697 1 (𝐺 ∈ ∞MetSp → 𝐺 ∈ TarskiGC)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1481   ∈ wcel 1988  ∀wral 2909  Vcvv 3195  ‘cfv 5876  (class class class)co 6635  0cc0 9921  Basecbs 15838  distcds 15931  ∞MetSpcxme 22103  TarskiGCcstrkgc 25311  Itvcitv 25316 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998  ax-pre-sup 9999 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-er 7727  df-map 7844  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-sup 8333  df-inf 8334  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-div 10670  df-nn 11006  df-2 11064  df-n0 11278  df-z 11363  df-uz 11673  df-q 11774  df-rp 11818  df-xneg 11931  df-xadd 11932  df-xmul 11933  df-topgen 16085  df-psmet 19719  df-xmet 19720  df-bl 19722  df-mopn 19723  df-top 20680  df-topon 20697  df-topsp 20718  df-bases 20731  df-xms 22106  df-trkgc 25328 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator